1. Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} + ax + b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 4a ^{3}+27b ^{2} =0}\).
2. Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x) =x ^{6} +ax ^{4} +bx ^{2} +c}\) jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x ^{2}+x+1}\), to jest również podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x ^{2}-x+1}\).
A i jeszcze to:...
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 2x ^{3}+x+1}\)
a) uzasadnij, że\(\displaystyle{ W(x)}\) nie ma dodatnich pierwiastków
b) uzasadnij, że \(\displaystyle{ W(x)}\) nie ma pierwiastków wymiernych
c) TWIERDZENIE. Każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
Kożystając z twierdzenia uzasadnij że \(\displaystyle{ W(x)}\) ma co najmniej jeden pierwiastek.
Wykaż, że
-
mcsQueeb
- Użytkownik
- Posty: 130
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
Wykaż, że
Co do pierwszego nie jestem pewien ale ja bym to tak udowodnil:
1. Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} + ax + b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 4a ^{3}+27b ^{2} =0}\)
\(\displaystyle{ x^{3} + ax + b = (x-c)^{2} (x-d)}\)
\(\displaystyle{ x^{3} - (2c+d)x^{2} + (2c+c^{2})x - dc^{2}}\)
Porownujemy wspolczynniki przty odpowiednich potegach:
\(\displaystyle{ -2c-d=0 , wiec d=-2c,}\)
\(\displaystyle{ 2cd +c^{2}= a}\)
\(\displaystyle{ -dc^{2}=b}\)
Wiec:
\(\displaystyle{ b=2c^{3} , a=-3c^{2}}\)
Podstawiamy do naszego rownania:
\(\displaystyle{ 4(-3c^{2})^{3} + 27(2c^{3})^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ -108c^{6} + 108c^{6} = 0}\)
L=P , zachodzi rownosc.
1. Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} + ax + b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 4a ^{3}+27b ^{2} =0}\)
\(\displaystyle{ x^{3} + ax + b = (x-c)^{2} (x-d)}\)
\(\displaystyle{ x^{3} - (2c+d)x^{2} + (2c+c^{2})x - dc^{2}}\)
Porownujemy wspolczynniki przty odpowiednich potegach:
\(\displaystyle{ -2c-d=0 , wiec d=-2c,}\)
\(\displaystyle{ 2cd +c^{2}= a}\)
\(\displaystyle{ -dc^{2}=b}\)
Wiec:
\(\displaystyle{ b=2c^{3} , a=-3c^{2}}\)
Podstawiamy do naszego rownania:
\(\displaystyle{ 4(-3c^{2})^{3} + 27(2c^{3})^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ -108c^{6} + 108c^{6} = 0}\)
L=P , zachodzi rownosc.
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Wykaż, że
2) Podpowiedź.
Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ W(x)=W(-x)}\). Zauważ, że jeżeli \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) są pierwiastkami \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), to \(\displaystyle{ -x_1,-x_2}\) są pierwiastkami \(\displaystyle{ x^2-x+1}\).
3) Podpowiedź.
a) Dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) wszystkie składniki są dodatnie, więc ich suma też.
b) Sprawdź \(\displaystyle{ W(1),W(-1),W\left(\frac{1}{2}\right),W\left(\frac{-1}{2}\right)}\).
c) \(\displaystyle{ W(x)}\) albo rozkłada się na trzy wyrażenia liniowe, albo na jedno kwadratowe i jedno liniowe, a wielomian stopnia pierwszego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty.
Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ W(x)=W(-x)}\). Zauważ, że jeżeli \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) są pierwiastkami \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), to \(\displaystyle{ -x_1,-x_2}\) są pierwiastkami \(\displaystyle{ x^2-x+1}\).
3) Podpowiedź.
a) Dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) wszystkie składniki są dodatnie, więc ich suma też.
b) Sprawdź \(\displaystyle{ W(1),W(-1),W\left(\frac{1}{2}\right),W\left(\frac{-1}{2}\right)}\).
c) \(\displaystyle{ W(x)}\) albo rozkłada się na trzy wyrażenia liniowe, albo na jedno kwadratowe i jedno liniowe, a wielomian stopnia pierwszego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty.