Dany jest wielomian:
\(\displaystyle{ ax^{3}-bx^{2}-cx+d}\) gdzie a,b,c,d są kolejnymi liczbami naturalnymi. Wykaż, że wielomian ten ma zawsze 3 pierwiastki rzeczywiste, w tym jeden całkowity (co najmniej). Dla jakich a,b,c,d suma tych pierwiastkow jest największa.
wykaż, że wielomian...
- Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
wykaż, że wielomian...
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną, wtedy wielomian wygląda tak:
\(\displaystyle{ W(x) = nx^{3} - (n+1)x^{2} - (n+2)x + (n+3)}\)
Można przekształcić go tak :
\(\displaystyle{ W(x) = nx^{3} - nx^{2} - (n+2)x + (n+2) - (x^{2} - 1) \\
W(x) = nx^{2}(x-1) - (n+2)(x-1) - (x+1)(x-1) \\
W(x) = (x-1)[nx^{2} - (n+2) - (x+1)]}\)
I po uporządkowaniu
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(nx^{2} - x - n -3)}\)
Jak widać jednym z jego pierwiastków jest 1. Posiada też dwa pozostałe ponieważ dla naturalnych liczb n delta trójmianu w nawiasie jest zawsze dodatnia.
Do obliczenia sumy pierwiastków można teraz zastosować wzory viette'a. Wynika z nich, że suma pierwiastków przyjmie naiwększą wartość dla n dążącego prawostronnie do 0. Jednak skoro n jest naturalne to najbliższą zera liczbą n będzie 1. Stąd a=1 b=2 c=3 d=4
\(\displaystyle{ W(x) = nx^{3} - (n+1)x^{2} - (n+2)x + (n+3)}\)
Można przekształcić go tak :
\(\displaystyle{ W(x) = nx^{3} - nx^{2} - (n+2)x + (n+2) - (x^{2} - 1) \\
W(x) = nx^{2}(x-1) - (n+2)(x-1) - (x+1)(x-1) \\
W(x) = (x-1)[nx^{2} - (n+2) - (x+1)]}\)
I po uporządkowaniu
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(nx^{2} - x - n -3)}\)
Jak widać jednym z jego pierwiastków jest 1. Posiada też dwa pozostałe ponieważ dla naturalnych liczb n delta trójmianu w nawiasie jest zawsze dodatnia.
Do obliczenia sumy pierwiastków można teraz zastosować wzory viette'a. Wynika z nich, że suma pierwiastków przyjmie naiwększą wartość dla n dążącego prawostronnie do 0. Jednak skoro n jest naturalne to najbliższą zera liczbą n będzie 1. Stąd a=1 b=2 c=3 d=4