Udowodnij- 1 malutkie pytanko

[Ewa :)]

Uzasadnij, że jeśli 4 punkty są współliniowe to nie istnieje funkcja wielomainowa stopnia 3

Czy wystarczy wybrać dowolne 4 punkty lażące na dowolnej prostej i pokazać, że wtedy nie istenieje funkcja wielomianowa st. 3? Czy muszę się bawić w dla każdego?

[natkoza]

a czy ta funkcja wielomianowa ma spełniać jakieś warunki, czy coś, bo tak dziwnie to zdanie brzmi

[Sylwek]

Może mamy udowodnić, że żaden wielomian 3. stopnia nie zawiera czterech współliniowych punktów? Przypadek dla czterech punktów leżących na prostej równoległej do osi OY oczywisty. Dalej załóżmy, że istnieje taki wielomian 3. stopnia (\(\displaystyle{ W(x)}\)), który ma co najmniej 4 punkty wspólne z funkcją liniową \(\displaystyle{ Q(x)}\). Zatem dla pewnych a,b,c,d,e,f równanie:
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=ex+f}\)
ma cztery rozwiązania. Równoważnie poniższe równanie też ma co najmniej cztery rozwiązania:
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+(c-e)x+(d-f)=0}\).

Zatem wielomian: \(\displaystyle{ G(x)=ax^3+bx^2+(c-e)x+(d-f)}\) ma co najmniej cztery różne pierwiastki. Ale z Zasadniczego twierdzenia algebry wiemy, że wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych, zatem wielomian \(\displaystyle{ G(x)}\) 3. stopnia ma co najwyżej 3 pierwiastki rzeczywiste. Założenie, że istnieje taki wielomian 3. stopnia (\(\displaystyle{ W(x)}\)), który ma co najmniej 4 punkty wspólne z funkcją liniową \(\displaystyle{ Q(x)}\) poprowadziło nas do sprzeczności, co kończy dowód.

[Ewa :)]

Nie za bardzo rozumiem dowód. Dlaczego pierwsze równanie ma mieć tylko 2 rozwiązania? O co chodzi? Dlaczego trzebaw to wplątywacliczby zespolone? Nie widzę sprzeczności...
Czy nie da się prościej?

[Sylwek]

Pardon, nie dwa, tylko cztery powinno być, już poprawiłem i podkreśliłem mój błąd, nie wiem czemu tak napisałem... Liczb zespolonych też nie trzeba w to angażować - trochę zmodyfikowałem dowód, żeby był bardziej zrozumiały.