3 pierw rzeczywiste

[wielgi]

dla jakiej wartosci parametru a rownanie \(\displaystyle{ x^{3}+ax+2=0}\)ma trzy pierwiastki rzeczywiste?

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ f(x)=x^{3}+ax+2}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^{2}+a}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^{2}+a=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt{-\frac{a}{3}} \ \vee \ x=\sqrt{-\frac{a}{3}}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{-\frac{a}{3}}}\) mamy maksimum, a dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{a}{3}}}\) minimum. Żeby wyjścowe równanie miało 3 rozwiązania maksimum musi być nieujemne, a minimum niedodatnie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(-\sqrt{-\frac{a}{3}}) \geqslant 0 \\ f(\sqrt{-\frac{a}{3}}) \leqslant 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a}{3} \cdot \sqrt{-\frac{a}{3}}-a\cdot \sqrt{-\frac{a}{3}}+2 \geqslant 0 \\ -\frac{a}{3} \cdot \sqrt{-\frac{a}{3}}+a\cdot \sqrt{-\frac{a}{3}}+2 \leqslant 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{2}{3}a \cdot \sqrt{-\frac{a}{3}} +2 \geqslant 0 \\ \frac{2}{3}a \cdot \sqrt{-\frac{a}{3}} +2 \leqslant 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \in (- \infty,0> \\ a \in (- \infty,-3> \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a \in (\infty,-3>}\)

[wielgi]

dlaczego akurat tak a nie inaczej?

[Brzytwa]

dlaczego akurat tak a nie inaczej?

Mógłbyś sprecyzować ?

[wielgi]

skad wiadamo ze minimum ma taki znak a max taki znak?

[Brzytwa]

Ponieważ pomiędzy każdymi 2 pierwiastkami dowolnego wielomianu musi istnieć ekstremum. Spróbuj sobie naszkicować wykres wielomianu o 3 pierwiastkach rzeczywistych, to zobaczysz, dlaczego tak właśnie powinno być. Gdyby np maksimum było ujemne, to pomiędzy maksimum i minimum nie byłoby żadnego pierwiastka, co oczywiście oznaczałoby, iż dany wielomian ma tylko 1 pierwiastek.