Wykaz ze...

[RAFAELLO14]

1) Wykaz, ze jezeli x+y=4 to \(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} \geqslant 32}\)

2) Wykaz, ze jezeli \(\displaystyle{ x > 0 i y>0 i 2x + y = 3, to x ^{2} y qslant 1}\)

[Brzytwa]

1) Wykaz, ze jezeli x+y=4 to \(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} \geqslant 32}\)

2) Wykaz, ze jezeli \(\displaystyle{ x > 0 i y>0 i 2x + y = 3, to x ^{2} y qslant 1}\)

1)
\(\displaystyle{ x^{4}+y^{4} qslant \frac{(x+y)^{4}}{8} = \frac{4^{4}}{8} = 32}\)

2)
\(\displaystyle{ x^{2}y qslant (\frac{x+x+y}{3})^{3} = (\frac{3}{3})^{3} = 1}\)

[RAFAELLO14]

\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4}}\)
mozna zapisac jako
\(\displaystyle{ (x+y) ^{4}}\)
?!

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4}}\)
mozna zapisac jako
\(\displaystyle{ (x+y) ^{4}}\)
?!

oczywiście, że nie, ale możesz oszacować z nierówności pmiędzy średnimi:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{ \frac{x^{4}+y^{4}}{2} } qslant \frac{x+y}{2}}\)

[RAFAELLO14]

mozesz mi jeszcze powiedziec skad sie wzial zapis
\(\displaystyle{ ( \frac{x+x+y}{3}) ^{3}}\)
??

[Brzytwa]

Z nierówności AG otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \frac{x+x+y}{3} qslant \sqrt[3]{x x y}}\)

i teraz podnosisz do potęgi \(\displaystyle{ ^{3}}\).

[arpa007]

\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4}}\)
mozna zapisac jako
\(\displaystyle{ (x+y) ^{4}}\)

tez sie zdziwilem, ale juz rozumiem sprytnie,
\(\displaystyle{ x+y=4 (x+y)^4=4^4=256}\) a \(\displaystyle{ \frac{256}{8}=32}\)

[RAFAELLO14]

nie do konca rozumiem P ale wielkie dzieki nameczyles sie =)

[Brzytwa]

nie do konca rozumiem :PP ale wielkie dzieki nameczyles sie =)

Jest takie twierdzenie o średnich:

Niech \(\displaystyle{ S _{t} = (\frac{a_{1}^{t}+a_{2}^{t}+a_{3}^{t}+...+a_{n}^{t}}{n})^ \frac{1}{t}}\) oraz \(\displaystyle{ S_{0} = \lim_{ t\to 0} (\frac{a_{1}^{t}+a_{2}^{t}+a_{3}^{t}+...+a_{n}^{t}}{n})^ \frac{1}{t} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot ... \cdot a_{n}}}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ t_{1} > t_{2}}\) zachodzi \(\displaystyle{ S_{t_{1}} qslant S_{t_{2}}}\), przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a _{1}=a_{2}=a_{3}=...= a_{n}}\). Innymi słowy, funkcja \(\displaystyle{ f(t)=S_{t}}\) jest niemalejąca.