Trzy pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Suma ich wynosi 21, a iloczyn 315. Wykazać, że dla każdej liczby nieparzystej wielomian ten przyjmuje wartość podzielną przez 48.
"zadanie" to nie jest najlepsza nazwa tematu, popracuj nad tym, bo następnym razem zakończy się to inaczej,
Piotrek89
pierwiastki wielomianu, ciąg arytmetyczny
-
robert9000
- Użytkownik
- Posty: 1420
- Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 411 razy
pierwiastki wielomianu, ciąg arytmetyczny
nasze rozwiązania to:
a, a+r, a+2r
suma:
\(\displaystyle{ a+a+r+a+2r=3a+3r=3(a+r)}\)
mamy pozane, że wynosi ona 21, więc \(\displaystyle{ a+r=7 r=7-a}\)
iloczyn to:
\(\displaystyle{ a (a+r) (a+2r)=a (a+(7-a)) (a+2(7-a))=a 7 (14-a)=7a (14-a)=98a-7a^{2}}\)
wiemy, że iloczyn wynosi 315, więc:
\(\displaystyle{ 98a-7a^{2}=315 \\
7a^{2}-98a+315=0 \\
\Delta=98^{2}-4 7 315=9604-8820=784 \sqrt{\Delta} =28 \\
a= \frac{98+28}{14} =9 \ \ a= \frac{98-28}{14} =5}\)
łatwo liczyby , że r=2 lub -2
nasze pierwiastki to:
\(\displaystyle{ 5,7,9 9,7,5}\) kolejność dla nas niejest ważna
nasz wielomian to:
\(\displaystyle{ f(x)=a(x-5)(x-7)(x-9)}\)
teraz pomyśl, dlaczego dla każdej nieparzystaj ten wielomian jest podzielny przez 48
a, a+r, a+2r
suma:
\(\displaystyle{ a+a+r+a+2r=3a+3r=3(a+r)}\)
mamy pozane, że wynosi ona 21, więc \(\displaystyle{ a+r=7 r=7-a}\)
iloczyn to:
\(\displaystyle{ a (a+r) (a+2r)=a (a+(7-a)) (a+2(7-a))=a 7 (14-a)=7a (14-a)=98a-7a^{2}}\)
wiemy, że iloczyn wynosi 315, więc:
\(\displaystyle{ 98a-7a^{2}=315 \\
7a^{2}-98a+315=0 \\
\Delta=98^{2}-4 7 315=9604-8820=784 \sqrt{\Delta} =28 \\
a= \frac{98+28}{14} =9 \ \ a= \frac{98-28}{14} =5}\)
łatwo liczyby , że r=2 lub -2
nasze pierwiastki to:
\(\displaystyle{ 5,7,9 9,7,5}\) kolejność dla nas niejest ważna
nasz wielomian to:
\(\displaystyle{ f(x)=a(x-5)(x-7)(x-9)}\)
teraz pomyśl, dlaczego dla każdej nieparzystaj ten wielomian jest podzielny przez 48
