nierówność Bernoullego

[martoX]

Czy istnieje inny sposób na udowodnienie nierówności Bernoullego niż poprzez indukcje czy dwumian Newtona??

[mol_ksiazkowy]

hm ,moze z pochodnej...

[JankoS]

Czy istnieje inny sposób na udowodnienie nierówności Bernoullego niż poprzez indukcje czy dwumian Newtona??

Istnieje przez rozwinięcie w szereg


Można też wykazać indukcyjnie

Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \geqslant 1}\) i \(\displaystyle{ a \in (.+ \infty )}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ (*)(1+a) ^{n} \geqslant 1+na}\).
Dowód indukcyjny po n
1. Sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=1}\)
Wtedy lewa strona (*) równa się \(\displaystyle{ (1+a) ^{1}=1+a}\). Prawa strona równa się \(\displaystyle{ 1+1 \cdot a=1+a}\). Lewa strona równa się prawej i (*) zachodzi dla n = 1.
2. Krok indukcyjny.
Zakładam, że \(\displaystyle{ (**)(1+a) ^{k} \geqslant 1+ka}\) dla naruralnego \(\displaystyle{ k \geqslant 1}\).
Twierdzę, że z tego wynika, \(\displaystyle{ (***)(1+a) ^{k+1} \geqslant 1+(k+1)a}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a>-1}\), to \(\displaystyle{ 1+a>0}\). Mnożę obydwie strony nierówności z założenia (**) przez dodatnie \(\displaystyle{ 1+a}\) otrzymuję równoważną nierówność
\(\displaystyle{ (1+a) ^{k} (1+a) qslant (1+ka)(1+a)}\).
Stąd i z własności działań na potęgach, po wykonaniu mnożenia po prawej stronie mam
\(\displaystyle{ (1+a) ^{k+1} qslant 1+ka+a+ka ^{2} =1+(k+1)a+ka ^{2}}\).
Dla \(\displaystyle{ a (-1,+ ), \ k qslant 1}\) ostatni składnik lewj sstrony tej nierówności jest nieujemny (\(\displaystyle{ ka ^{2 }\geqslant 0}\)). Stąd i z przechodności nierówności
\(\displaystyle{ (1+a) ^{k+1} qslant 1+(k+1)a+ka ^{2} qslant 1+(k+1)a}\).
I dalej z przechodności nierówności
\(\displaystyle{ (1+a) ^{k+1} qslant1+(k+1)a}\).
Wykazałem prwdziwość (***).
3. Z 1, 2 i z zasady indukcji matematycznej wynika, że nierówność (*) jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n qslant 1}\).

[martoX]

prosiłbym o wyjaśnienie rozwinięcia w szereg nierówności Bernoullego