wyznacz wartość współczynnika wielomianu

[wasik12]

jeżeli wielomian W(x)= (x^2 + 1/2)^ 6 zapiszemy w postaci uporządkowanej sumy, to wystąpi w niej między innymii wyraz ax^ 4 , a nalerz do zbioru liczb rzeczywistych. Wyznacz współczynnik a.

Będę wdzięczna jak ktoś poda swój tok rozumowania.

[fanch]

skorzystaj z dwumianu newtona

[arpa007]

musisz po prostu rozlozyc ta postac wielomianu na sumy, zn. \(\displaystyle{ a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}\) i odczytac wartosc wspolczynnika przy \(\displaystyle{ (?)x^4}\)

rozlozyc najlatwiej (nie mnozac xD) dwumianem Newtona:

[natkoza]

\(\displaystyle{ (x^2+\frac{1}{2})^6=x^{12}+6x^{10}\cdot \frac{1}{2}+15x^8\cdot \frac{1}{4}+20x^6\cdot \frac{1}{8}+15x^4\cdot \frac{1}{16}+6x^2\cdot \frac{1}{32}+\frac{1}{64}=x^{12}+3x^{10}+\frac{15}{4}x^8+\frac{20}{8}x^6+\frac{15}{16}x^4+\frac{6}{32}x^2+\frac{1}{64}}\)

[dabros]

zagadnienie tego typu sprowadza się do wykorzystania symbolu Newtona;
mamy wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+\frac{1}{2})^{6} \\
w= ax^{4}={6 \choose i}(x^{2})^{6-i}(\frac{1}{2})^{i} \\
12-2i=4 \\ i=4 \\ a= {6 \choose 4}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{16}}\)

[robert9000]

albo nierozkłądając, bo wiadomo, że każdy wyraz jest równy:
\(\displaystyle{ {6 \choose k} ft( x^{2}\right)^{6-k} ( \frac{1}{2} )^{k} \\
x^{2(6-k)}=x^{4} \\
12-2k=4 \\
2k=8 \\
k=4}\)

czyli wyraz zawiarający \(\displaystyle{ x^{4}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ {6 \choose 4} k^{4} ( \frac{1}{2} )^{4}}\)

[dabros]

\(\displaystyle{ x^{2^{6-k}}}\)

w tej linijce jest bląd...

[robert9000]

poprowione, chyba o nawias chodziło