Zadanie z parametrem

[Daumier]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{5} + (1-2m)x ^{3} + (m ^{2} -1)x = 0}\) ma:
a) 5 pierwiastków
b) dokładnie 3 pierwiastki
c) tylko jeden pierwiastek.

Jasnym jest dla mnie wyciągnięcie x przed nawias i wstawienie nowej zmiennej za \(\displaystyle{ x ^{2}}\). Mam problem z założeniami. Dla punktu a delta większa od 0, dla b - równa 0, a dla c mniejsza od 0. I nie wiem co dalej. Jakie założenia muszą być nałożone na pierwiastki równania z nową zmienną ?

Z góry dziękuje za pomoc.

[GetOut13]

a) \(\displaystyle{ x^{5} + (1/2m)x^{3} + (m^{2}-1)x=0}\)

\(\displaystyle{ x(x^{4} + (1-2m)x^{2} + m^{2} -1) = 0}\)

x= 0 V podstawiamy pocnicza\(\displaystyle{ t = x^{2}}\)
przt zalozeniu: \(\displaystyle{ t >0}\)

\(\displaystyle{ t^{2} + (1-2m)t + m^{2} - 1}\)

No i liczysz Aby rownanie mialo 5 roznych pierwiastki to rownanie z pomocnicza t musi miec 2 rozne pierwiastki wieksze od zera wiec musi spelniac warynek : \(\displaystyle{ delta>0}\)\(\displaystyle{ t1*t2>0}\)\(\displaystyle{ t1 + t2 >0}\)

[robert9000]

\(\displaystyle{ x(x^{4}+(1-2m)x^{2}+(m^{2}-1)=0}\)

tym x sie nie przejmujemy

\(\displaystyle{ t=x^{2} \\
t^{2}+(1-2m)t+(m^{2}-1)=0 \\
\\
a)
\Delta>0 \\
t_{1}+t_{2}>0 \\
t_{1}t_{2}>0 \\
\\
\\
b)
\Delta >0 \\
t_{1}t_{2} \leqslant 0 \\
t_{1}+t_{2}>0}\)

[poprawka], jedno z rozwiązań może wynosić 0, wtedy bedzie 0 trzyktotnym rozwiązaniem ale traktuje się jako jedno

\(\displaystyle{ lub\\
\Delta=0 \\
t>0
\\
\\
c) \\
\begin{cases} \Delta qslant 0 \\ t_{1} qslant 0 \\ t_{2} qslant 0 \end{cases} \Delta}\)

[spych]

i wszystko by było fajnie ale z tych założeń (zrobilem takie same) wychodzą przedziały:

a)\(\displaystyle{ m\in (1 , \frac {5}{4} )}\)

b)\(\displaystyle{ m\in (-1 , 1 ) \cup {\frac {5}{4}}}\)

c)\(\displaystyle{ m\in ( -\infty , \frac {1}{2} ) \cup (\frac {5}{4} , +\infty )}\)

a w odpowiedziach jest (zreszta to dosc oczywiste), że:

a)\(\displaystyle{ m\in (1 , \frac {5}{4} )}\)

b)\(\displaystyle{ m\in (-1 , 1 > \cup {\frac {5}{4}}}\)

c)\(\displaystyle{ m\in ( -\infty , -1 > \cup (\frac {5}{4} , +\infty )}\)

[robert9000]

naniesione poprawki