wykaz, ze-funkcja

[see-you]

wykaz, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b,c funkcja \(\displaystyle{ f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)}\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

[robert9000]

poprostu przeba wymnożyc;]

\(\displaystyle{ f(x)=x_{2}-x(a+b)+ab+x^{2}-x(b+c)+bc+x^{2}-x(a+c)+ac=3x^{2}-x(a+b+b+c+a+c)+ab+bc+ac=3x^{2}-x(2a+2b+2c)+ab+bc+ac=3x^{2}-2x(a+b+c)+ab+bc+ac}\)


\(\displaystyle{ \Delta=4(a+b+c)^{2}-4 3 (ab+bc+ac)=4((a+b)^{2}+2c(a+b)+c^{2}-3ab-3bc-3ac)=4(a^{2}+b^{2}+2ab+2ac+2bc-3ab-3bc-3ac)=4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)=2(a^{2}-2ab+b^{2}+a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bc+c^{2})=2((a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2})=2(a-b)^{2}+2(b-c)^{2}+2(a-c)^{2} qslant 0}\)

delta zawsze nieujemna, wiec jest conajmniej jeden pierwiastek

[kuch2r]

Bez straty ogolnosci mozemy,zalozyc ze:
\(\displaystyle{ a}\)