Parametr, 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

wlodzimierz · Post autor: **wlodzimierz** » 21 mar 2008, o 18:28

Witam, mam problem z nastepującym zadaniem:

Dla jakich wartości parametru p wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3 - 3px + 9p - 27}\) ma trzy rożne pierwiastki rzeczysiste?

Sprawdzałem już na forum i były podobne zadania, z tym, ze zawsze dało się wyciągnąć x przed nawias albo podstawić zmienną pomocniczą i wychodziło. To zadanie nie może być trudne, bo jest maturalne, tym większy mój smutek ;/ proszę o pomoc i pozdrawiam

yorgin · Post autor: **yorgin** » 21 mar 2008, o 18:35

Zauważ że 3 jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Stąd:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x^2+3x+9-3p)\\}\)
Teraz trzeba policzyć deltę, pierwiastki itd.

Można też skorzystać z tego, że wielomian posiada pierwiastek wielokrotny ma wspólny podzielnik ze swoją pochodną.

wlodzimierz · Post autor: **wlodzimierz** » 21 mar 2008, o 18:44

Wielkie dzięki teraz to rzeczywiście proste pozdrawiam!

chasma · Post autor: **chasma** » 21 mar 2008, o 22:38

Na jakiej zasadzie wyciągneliście coś takiego??

\(\displaystyle{ W(x) = (x - 3) ( x^{2} + 3x + 9 - 3p)}\)

robert9000 · Post autor: **robert9000** » 21 mar 2008, o 22:42

W(3)=0
wiec x-3 dzieli ten wielomian, wiec można do podzielic np schematem hornera i otrzymuje się cos takiego
tylko trzeba zauważyć, żeby były 3 rózne pierwiastki, to \(\displaystyle{ x^{2}+3x+9-3p}\) niemoże się dzielić przez 3

chasma · Post autor: **chasma** » 21 mar 2008, o 22:46

Aha. Dziękuję bardzo po raz kolejny