dowód dotyczący wielomianu

[yaro84]

Dane są liczby naturalne k i p oraz wielomian

\(\displaystyle{ f(x) = x^{n} + a_{1} x^{n-1} + a_{2} x^{n-2} + ... + a_{n-1} x + a_{o}}\)

o współczynnikach całkowitych.
Udowodnij, że jeżeli żadna z liczb f(k), f(k+1), ... , f(k+p) nie dzieli się przez p+1, to wielomian f(x) nie posiada pierwiastków całkowitych.

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ W(n(p+1) + r) \equiv W(r) \mod (p+1)}\)
a każdą liczbę całkowitą można zapisać w postaci \(\displaystyle{ n(p+1) +r}\), gdzie \(\displaystyle{ r \{k, k+1, k+2, \dots , k+p \}}\) .

Q.

[yaro84]

Kilka pytań do rozwiązania.
Zał. wbrew tezie, że wielomian f(x) ma pierwiastek całkowity m. Mamy zatem f(x) = (x-m)g(x), gdzie g(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych.
Rozważmy liczby całkowite f(k+s) = (k+s-m)g(k+s), s=0,1,2,...,p. Liczby postaci p+1, a k+s-m dla s=0,1,2,...,p są kolejnymi liczbami całkowitymi. Wobec tego p+1 dzieli f(k+s) dla pewnego s=0,1,2,3,...,p co przeczy założeniu. Sprzeczność dowodzi tezy.

Moje pytanie: jak rozumieć zdanie: Liczby postaci p+1, a k+s-m dla s=0,1,2,...,p są kolejnymi liczbami całkowitymi. Moim zdaniem to jest nieprawda, pewnie się mylę, powie mi ktoś dlaczego tak jest?? Dzięki z góry