Wielomian P(x) stopnia n o współczynnikach rzeczywistych spełnia dla pewnych liczb rzeczywistych a i b, że aqslant0, P''(b)\geqslant[/latex]0, ... , \(\displaystyle{ (-1)^{n}P^{(n)}(b)\geqslant0}\)
Wykaż, że wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu P(x) należą do przedziału (a,b).
pierwiastki wielomianu
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
pierwiastki wielomianu
Rozwiązanie nie moje (z książki Pawłowskiego) :
Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=P(a-x)}\) i zapiszmy go jako: \(\displaystyle{ Q(x)= a_nx^n + \dots +a_1x + a_0}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ k=0,1, \dots, n}\) mamy z rozwinięcia w szereg Maclaurina:
\(\displaystyle{ a_k=\frac{Q^{(k)}(0)}{k!} = \frac{(-1)^kP^{(k)}(a)}{k!} qslant 0}\)
Stąd wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ Q}\) są ujemne, czyli dla dodatnich iksów jest \(\displaystyle{ Q(x), a]}\) \(\displaystyle{ P}\) nie ma pierwiastków.
Analogicznie rozważania na temat wielomianu \(\displaystyle{ R(x)=P(x+b)}\) pokazują, że nasz wielomian nie ma pierwiastków w przedziale \(\displaystyle{ [b, + )}\), ergo: jeśli w ogóle je ma, to tylko w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\).
Q.
Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=P(a-x)}\) i zapiszmy go jako: \(\displaystyle{ Q(x)= a_nx^n + \dots +a_1x + a_0}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ k=0,1, \dots, n}\) mamy z rozwinięcia w szereg Maclaurina:
\(\displaystyle{ a_k=\frac{Q^{(k)}(0)}{k!} = \frac{(-1)^kP^{(k)}(a)}{k!} qslant 0}\)
Stąd wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ Q}\) są ujemne, czyli dla dodatnich iksów jest \(\displaystyle{ Q(x), a]}\) \(\displaystyle{ P}\) nie ma pierwiastków.
Analogicznie rozważania na temat wielomianu \(\displaystyle{ R(x)=P(x+b)}\) pokazują, że nasz wielomian nie ma pierwiastków w przedziale \(\displaystyle{ [b, + )}\), ergo: jeśli w ogóle je ma, to tylko w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\).
Q.