podział wielomianu

[yaro84]

Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej y oraz dla dowolnej liczby naturalnej n wielomian

\(\displaystyle{ P_{n} (x) = x^{n} siny - xsinny + sin (n-1)y}\)

jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x^{2} - 2xcosy +1}\).

[King James]

Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej y oraz dla dowolnej liczby naturalnej n wielomian

\(\displaystyle{ P_{n} (x) = x^{n} siny - xsinny + sin (n-1)y}\)

jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x^{2} - 2xcosy +1}\).

\(\displaystyle{ Q(e^{iy})=Q(e^{-iy})=0}\)

Wystarczy pokazać, że:

\(\displaystyle{ P_{n}(e^{iy})=0}\)

bo \(\displaystyle{ e^{-iy}}\) jako sprzężenie do \(\displaystyle{ e^{iy}}\) też będzie pierwiastkiem i korzystamy z:

\(\displaystyle{ sin{\psi}=\frac{e^{i\psi}-e^{-i\psi}}{2i}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ P_{n}(e^{iy})=e^{iny}\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}-e^{iy}\frac{e^{iny}-e^{-iny}}{2i}+\frac{e^{i(n-1)y}-e^{-i(n-1)y}}{2i}=0}\)