podzielnosc wielomianu

[Pumba]

Wykaz, ze wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^{2m}+(x-1)^{m}-1}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)(x-2)}\) dla kazdego \(\displaystyle{ m N}\)

z gory dziekuje!

[wb]

\(\displaystyle{ W(1)=(1-2)^{2m}+0-1=1+0-1=0 \\ W(2)=0+1^m-1=0}\)
co oznacza na mocy tw. Bezoute'a podzzielność danego wielomianu przez P(x)

[yorgin]

Taka podzielność oznacza, że liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W
sprawdzamy:
\(\displaystyle{ W(1)=(-1)^{2m}-1=0\\
W(2)=1^m-1=0}\)
Wobec tego obie liczby są pierwiastkami a co za tym idzie \(\displaystyle{ P(x)|W(x)}\)

[fanch]

w(x) jest podzielny przez p(x) wtedy gdy:
w(1)=1 i w(2)=0 , a to ze te równości zachodzą jest łatwo widoczne:

\(\displaystyle{ w(1)= (-1)^{2m}+0^m-1=0}\)
\(\displaystyle{ w(2)= 0^{2m}+1^m-1=0}\)