288. Dla jakiego m wielomian ma pierw. trzykrotny?

[Konikov]

288.

• Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x ^{4} -2x ^{3} -6x ^{2} +10x+m}\) ma pierwiastek trzykrotny?

Odp:
\(\displaystyle{ m=-4}\)

[natkoza]

z użyciem pochodnej
\(\displaystyle{ W'(x)=0 x=-\frac{5}{4}\vee x=1}\)
\(\displaystyle{ W''(x)=0 x=-\frac{1}{2}\vee x=1}\)
skoro \(\displaystyle{ x=1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ W''(x)}\) oraz \(\displaystyle{ W'(x)}\) to znaczy, że jest on pierwiastkiem dwukrotnym pochodnej, a zatem pierwiastkiem trzykrotnym badanej funkcji, zate
\(\displaystyle{ W(1)=m+4\\
m+4=0\Leftrightarrow m=-4}\)
bez uzycia pochodnej:
\(\displaystyle{ 2x^4-2x^3-6x^2+10x+=0\\
2x^3(x-1)-(6x^2-10x-m)=0}\)
aby była szansa na pierwiastek wieloktotny to \(\displaystyle{ x=1}\) musi być pierwiastkiem równania kwadratowego w drugim nawiasie (bo wtedy można to wyciagnąć przed nawias i "bawic sie dalej" ).
Zatem oznaczmy tą funkcje przez \(\displaystyle{ g(x)}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ g(1)=6-10-m=-4-m\\
-4-m=0 -m=4 m=-4}\)

[robert9000]

bez użycia pochodnej:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+a)^{3}(cx+d) \ \ \ \ \ c=2}\)bo współczynnik przy najwyższej potedze wynosi 2, czyli mamy:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+a)^{3}(2x+d)}\)
wymnażasz i porównujesz współczynniki przy odpowiednich potegach

po rozwiązaniu, sprawdz, czy to nie bedzie przez przypadek pierwiastek 4 krotny, jezeli pierwiastek jest 4 krotny to nie jest on 3 krotny