282.Reszta z dzielenia wielomianu podana, znajdź pierwiastki

[Konikov]

282.

• Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3} + px ^{2} - x + q}\) przez trójmian \(\displaystyle{ (x + 2)^{2}}\) wynosi \(\displaystyle{ 1 - x.}\) Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

Odp:
\(\displaystyle{ -3, -1, 1}\) \(\displaystyle{ (p = 3, q = -3)}\)

[robert9000]

\(\displaystyle{ x^{3}+px^{2}-x+q=(x+2)^{2}(x+b)+(1-x)=(x^{2}+4x+4)(x+b)+1-x=x^{3}+x^{2}(4+b)+x(4b+3)+4b+1 \\
\\
\begin{cases} p=4+b \\ -1=4b+3 4b=-4 b=-1\\ q=4b+1 \end{cases} \\
\begin{cases} p=3 \\ b=-1 \\ q=-3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x^{3}+3x^{2}-x-3=x^{2}(x+3)-(x+3)=(x+3)(x^{2}-1)=(x+3)(x-1)(x+1)}\)

pierwiastki już chyba widać \(\displaystyle{ x =-3 x=-1 x=1}\)

[Konikov]

Dzięki, będę musiał to przeanalizować, nienawidzę wielomianów...

Twój podpis jest bardzo prawdziwy, tak się rozwiązuje zadania konkursowe Nieważne są schematy które powtarzasz tysiąc razy, ważna jest elastyczność myśli

[robert9000]

Instalator, jeżeli dobrze przeanalizujesz, to żebyś już miał wsyztsko, to powinno być dokładnie \(\displaystyle{ (x+2)^{2}(cx+b)+1-x}\)

ale ponieważ wiemy, że współczynnik przy najwyższej potędzie x wynosi 1, z tąd c=1, jest to istotne, jezeli jest tam inna liczba, w takim przypadku dajesz ten "parametr" przy x, albo całość mnożysz przez to:
\(\displaystyle{ c(x+2)^{2}(x+b)+1-x}\)
tylko to b się tutaj niepotrzebnie by wałęsało