Przedstawienie wielomianu w postaci liczb rzeczywistych

[Michau88]

Podany wielomian przedstawić w postaci liczb rzeczywitych:

a) \(\displaystyle{ W(x) = x^{4} + 64}\)

b) \(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 64}\)

Z góry dziękuję za wszelką pomoc

[Szemek]

b)
\(\displaystyle{ x^4-64=(x^2+8)(x^2-8)=(x^2+8)(x+\sqrt{8})(x-\sqrt{8})}\)

[ Dodano: 14 Marca 2008, 23:55 ]
a)
\(\displaystyle{ (x^2+ax+b)(x^2-ax+b)=x^4+(2b-a^2)x^2+b^2}\)

\(\displaystyle{ x^4+64\equiv x^4+(2b-a^2)x^2+b^2 \\
\begin{cases} 2b-a^2=0 \\ b^2=64 \end{cases} \\
\begin{cases} b=8 \\ a=-4 a=4 \end{cases} \\
x^4+64=(x^2+4x+8)(x^2-4x+8)}\)

[Michau88]

Wielkie dzięki

[bosa_Nike]

a) Jak ktoś lubi pamiętać wzory, to można skorzystać z tożsamości Sophie Germain:

\(\displaystyle{ x^4+4y^4=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)}\)

Tu \(\displaystyle{ y=2}\). Wynik jest oczywiście identyczny z wynikiem Szemka.

[Michau88]

Dziękuję Wam za pomoc. Mam teraz zadanie z tymi samym wielomianam, z tym że muszę go przedstawić w postaci nierozkładalnych pierwiastków zespolonych. Będę bardzo wdzięczny za rozwiązanie krok po kroku

Podany wielomian przedstawić w postaci nierozkładalnych pierwiastków zespolonych:

\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} + 64}\)

[soku11]

No to jedziemy tak:
\(\displaystyle{ x^4+64=0\\
x^4=-64\\
x^4=64(\cos \pi+i\sin \pi)\\
x_k=\sqrt[4]{64}\left( \cos \frac{\pi +2k\pi}{4}+i\sin \frac{\pi+2k\pi}{4}\right)=
\sqrt[4]{16\cdot 4}\left( \cos \frac{\pi +2k\pi}{4}+i\sin \frac{\pi+2k\pi}{4}\right)=
2\sqrt[4]{4}\left( \cos \frac{\pi +2k\pi}{4}+i\sin \frac{\pi+2k\pi}{4}\right)
\ \ k\in\{0,1,2,3\}\\
x_0=2\sqrt[4]{4}\left( \cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)=...}\)

I tak dalej az policzyz wszystkie 4. Pozniej tyko iloczyn POZDRO

[yorgin]

\(\displaystyle{ x^4+64=(x^2+4x+8)(x^2-4x+8)\\ \\
x^2+4x+8=0\\
\Delta=-16\\
\sqrt{\Delta}=4i\\
x_1=\frac{-4-4i}{2}=-2-2i\\
x_2=-2+2i\\
\\ \\
x^2-4x+8=0\\
\Delta=-16\\
\sqrt{\Delta}=4i\\
x_3=2-2i\\
x_4=2+2i\\
\\ \\
x^4+64=(x+2+2i)(x+2-2i)(x-2+2i)(x-2-2i)}\)