ułożyć równanie

[robin5hood]

Wiadomo, że \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}-1=0}\) ułóż równanie, którego pierwiastkami są:\(\displaystyle{ y_{1}=x_{1}+x_{2}, y_{2}=x_{1}+x_{3}, y_{3}=x_{2}+x_{3}}\)

[arpa007]

sprytne;]
rownanie: \(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}-1=0}\) ma tylko 1 rozwiazanie pomiedzy przedzialem \(\displaystyle{ (0;1)}\) \(\displaystyle{ (x_{1})^3 -(x_{1})^2-1}\)

wiec : \(\displaystyle{ y_{1}=y_{2}=y_{3}=2x_{1}}\)

wiec wystarczy do naszego wzoru podstawic zamiast \(\displaystyle{ x_{1} \Rightarrow 2x_{1}}\)

czyli funkcja : \(\displaystyle{ (2x_{1})^3 -(2x_{1})^2-1}\)

wychodzi dobrze bo w programie liczylem pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x_{1}=1,46555}\)

ale wzor ogolny bedzie trudniej znalezdz, bo \(\displaystyle{ 2x_{1})^3 -(2x_{1})^2-1}\) to wykres \(\displaystyle{ x^3 -x^2-1}\) przesuniety o wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[x_{1};0]}\)
i tu mam problemy:/

[Qń]

Nigdzie nie jest powiedziane, że chodzi nam tylko o pierwiastki rzeczywiste. Z wzorów Vieta'a mamy:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3= 1 \\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1= 0 \\
x_1x_2x_3=1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ y_1+y_2+y_3=2(x_1+x_2+x_3)= 2 \\
y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1 = (x_1+x_2+x_3)^2 +( x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) =1 \\
y_1y_2y_3 = (x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)(x_1+x_2+x_3) - (x_1x_2x_3)= -1}\)
czyli szukane równanie to:
\(\displaystyle{ y^3-2y^2+y+1=0}\).

Q.