reszta z dzielenia wielomianu

[robin5hood]

Reszty z dzielenia wielomianów \(\displaystyle{ P(X)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2}-4}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ 2x+1}\) i \(\displaystyle{ x-2}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= P(x) Q(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2}-4}\)

[Qń]

Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ P(2)=5, P(-2)=-3, Q(2)=0, Q(-2)=-4}\), zatem \(\displaystyle{ W(2)=0, W(-2)=12}\). Wystarczy więc podstawić dwójkę i minus dwójkę do równości \(\displaystyle{ W(x)= (x^2-4)H(x) +ax +b}\) i stąd wyznaczyć szukaną resztę \(\displaystyle{ ax+b}\).
Jeśli zaś mamy minimum wiedzy o pierścieniach ilorazowych, to najprościej jest rozpatrzyć wszystkie wielomiany jako elementy pierścienia ilorazowego \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x] / (x^2-4)}\), w którym \(\displaystyle{ P(x) = 2x +1 , Q(x) = x-2}\), a szukamy wielomianu \(\displaystyle{ P(x)Q(x)}\). Wystarczy więc wyznaczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ (2x+1)(x-2)}\) przez \(\displaystyle{ x^2-4}\).

Q.