dzielenie...

[kieszonka]

Przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\) otrzymujemy resztę \(\displaystyle{ 2}\), przy dzieleniu zaś przez \(\displaystyle{ x+1}\) otrzymujemy resztę \(\displaystyle{ -2}\). Znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) przez trójmian \(\displaystyle{ x^{2}-2x-3}\) .

a) \(\displaystyle{ x-2}\)
b) \(\displaystyle{ 2x+3}\)
c) \(\displaystyle{ x-1}\)
d) \(\displaystyle{ x+3}\)

Które odpowiedzi są poprawne???

[maquer]

Z tego, że przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ x - 3}\) otrzymujemy resztę \(\displaystyle{ 2}\) a przy przez \(\displaystyle{ x + 1}\)resztę \(\displaystyle{ -2}\), wynika jedna wspaniała rzecz

\(\displaystyle{ \begin{cases}
P(3) = 2\\
P(-1) = -2
\end{cases}}\)

Teraz nasz trójmian przez który dzielimy to po policzeniu miejsc zerowych nic innego jak \(\displaystyle{ (x - 3)(x + 1)}\)

Zapisujemy, że:

\(\displaystyle{ P(x) = (x - 3)(x + 1)*W(x) + R(x), R(x) = ax + b}\)

I teraz korzystając z pierwszego układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2 = 3a + b\\
-2 = -a + b
\end{cases}}\)

Rozwiązaniem jest odpowiedź: c)

[enigm32]

\(\displaystyle{ P(x)=(x-3)Q(x)+2 \\ P(x)=(x+1)O(x)-2 \\ P(x)=(x^2-2x-3)W(x)+R(x)}\)
\(\displaystyle{ R(x)}\) - szukana reszta; ponieważ dzielimy wielomian P(x) przez wielomian stopnai drugiego, zatem R(x) będzie najwyżej stopnia pierwszego, więc jest postaci \(\displaystyle{ ax+b}\)
\(\displaystyle{ P(x)=(x-3)(x+1)W(x)+ax+b}\)
Z pierwszych dwóch warunkó mamy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} P(3)=2 \\ P(-1)=-2 \end{cases}}\)
Zatem powracając do ostatniej postaci wielomainu P(x), mamy
\(\displaystyle{ P(3)= R(3)= 3a+b=2 \\ P(-1)=R(-1)=-a+b=-2}\)
\(\displaystyle{ a=1 \\ b=-1}\)
\(\displaystyle{ R(x)=x-1}\) - odp. C