wielomian bez pierwiastków

M Ciesielski · Post autor: **M Ciesielski** » 6 mar 2008, o 15:54

wykazać, że wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3+2x^2-6x+9}\)

rozwiązywałem to tak:
skoro nie ma on pierwiastków, to równanie \(\displaystyle{ x^4-2x^3+2x^2-6x+9=0 x^4+2x^2+9 = 2x^3+6x}\) nie ma rozwiązań, wykresy wielomianów \(\displaystyle{ P(x)=x^4+2x^2+9}\) i \(\displaystyle{ Q(x)=2x^3+6x}\) nie mogą więc mieć punktów wspólnych. naszkicować te wykresy i stwierdzić, że W(x) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

jakiś lepszy pomysł?

enigm32 · Post autor: **enigm32** » 6 mar 2008, o 16:05

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3+x^2+x^2-6x+9=(x^2-x)^2+(x-3)^2}\)- zawsze dodatnie; nigdy oba nawiasty nie przyjmą wartości zero jednocześnie. No a skoro wielomian ten nie przyjmuje nigdy wartości zero, to nie posiada pierwiastków rzeczywistych, c.n.d.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 6 mar 2008, o 16:07

tak to wymyslilem
eh ta matura

M Ciesielski · Post autor: **M Ciesielski** » 6 mar 2008, o 16:08

ciekawe, ileż punktów za to dostanę, skoro do zgarnięcia były bagatela 3... )

enigm32 · Post autor: **enigm32** » 6 mar 2008, o 16:18

Twój sposób jest w pełni prawidłowy, tylko bardziej praochłonny.
mat1989 , zrobiłes to tak samo jak ja, z wyjątkiem wyciągnięcia na końcu \(\displaystyle{ x^2}\) przed nawias.
Ważnym w tej metodzie bedzie komentarz, ze oba te skłądniki nie przymą jednocześnie wartości zero, ponieważ maja inne miejsca zerowe

[ Dodano: 6 Marca 2008, 16:19 ]
Takie zadanie było na dzissiejszej próbnej maturze z matematyki?

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 6 mar 2008, o 17:03

enigm32 pisze:Takie zadanie było na dzissiejszej próbnej maturze z matematyki?

dokladnie

M Ciesielski · Post autor: **M Ciesielski** » 6 mar 2008, o 22:05

tak, to zadanie z dzisiejszej próbnej matury, poziom rozszerzony

Enzo89 · Post autor: **Enzo89** » 7 mar 2008, o 22:26

Ja w tym zadaniu nie wpadłem na to żeby rozbić \(\displaystyle{ x^{2}}\) i poszedłem w pochodne. Obliczyłem granicę przy x dążącym do +/- nieskończoności, wyszło ze jest to w obu przypadkach + nieskończoność. Obliczyłem minimum globalne, było większe od 0, czyli nie ma pierwiastków. Metoda dużo bardziej pracochłonna ale efekt dała.

enigm32 · Post autor: **enigm32** » 7 mar 2008, o 22:57

Każdy sposób dobry jest dobry...
Chociaż z drugiej strony, zawsze zaoszczędzony czas na maturze się przyda:)

Enzo89 · Post autor: **Enzo89** » 7 mar 2008, o 23:22

Nie wiadomo czy pochodnymi nie zaoszczędziłem sobie czasu. Nad "sprytniejszą" metodą mógłbym myśleć i myśleć, tu przynajmniej wiedziałem, że pochodne dadzą efekt. W kluczu była przewidziana taka metoda.

enigm32 · Post autor: **enigm32** » 7 mar 2008, o 23:27

Heh, ja nie zdązył bym policzyc pochodnej w czsie, w którym zrobiłęm całe zadanie, także wole jednak to, ale jak mówiłęm, byle bylo dobrze. Pozdrawiam