Dany jest wielomian...

gothicon · Post autor: **gothicon** » 6 mar 2008, o 12:20

Dany jest wielomian\(\displaystyle{ W(x)=2x ^{4}+x ^{3}-8x ^{2}-x+6}\) .

a) Oblicz reszte z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+3)}\)

b) Sprawdz czy liczba \(\displaystyle{ -2}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu

c) Znajdz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W}\)

Mam problem z tym zadaniem, dlatego prosze o rozwiazanie, i dlaczego tak sie je rozwiazuje. Dzieki !

enigm32 · Post autor: **enigm32** » 6 mar 2008, o 12:35

a)
Podziel pisemnie lub korzystając ze schematu Hornera, otrzymasz:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+3)(2x^3-5x^2+7x-22)+72}\) - reszta: 72

maquer · Post autor: **maquer** » 6 mar 2008, o 12:37

Przede wszystkim można sobie ułatwić sprawę zapisując go tak:

\(\displaystyle{ W(x) = 2x^{4} + x^{3} - 6x^{2} - 2x^{2} - x + 6 = x^{2}(2x^{2} + x - 6) - (2x^{2} + x -6) = (x^{2} - 1)(2x^{2} + x - 6) = (x - 1)(x + 1)(x - \frac{3}{2})(x + 2)}\)

Z tego masz ładnie pierwiastki. Aby sprawdzić czy \(\displaystyle{ -2}\) jest pierwiastkiem to wystarczy ją podstawić za \(\displaystyle{ x}\), wychodzi
\(\displaystyle{ W(-2) = 0}\)
Albo widać to też od razu z powyższego rozkładu na czynniki pierwsze.
A co do reszty z dzielenia, to na chwilę obecną czy szło to inaczej uzyskać niż normalnie dzieląc albo jak kolega wyżej napisał

enigm32 · Post autor: **enigm32** » 6 mar 2008, o 12:37

b)
Liczysz porpostu wartość tego wielomianu dla argumentu -2: \(\displaystyle{ W(-2)=0}\) - wartość ta wynosi zero, zatem -2 jest pierwiastkiem tego wielomianu
c)
Poprostu przedstaw w postaci iloczynowej i odczytaj.

Pzdr

gothicon · Post autor: **gothicon** » 6 mar 2008, o 12:44

Jedyne co wiem, to to ze w b) ma byc TAK , tylko nie wiem jak to zrobic a wam wyszlo ze NIE ?

maquer · Post autor: **maquer** » 6 mar 2008, o 12:55

Wyszło nam, że tak Jeżeli liczba x jest pierwiastkiem wielomianu to znaczy, że W(x) = 0, a nam wyszło, że W(-2) = 0, stąd jest pierwiastkiem wielomianu.

gothicon · Post autor: **gothicon** » 6 mar 2008, o 14:02

Mam jeszcze jedno pytanie w tym punkcie a) mam napisac to co napisal maquer czy to co enigm32 .Bo ja nadal nie wiem co ja mam napisac i obliczyc :/ . z gory dziekuje za pomoc.

mcsQueeb · Post autor: **mcsQueeb** » 6 mar 2008, o 14:18

Maquer rozlozyl na czynniki i sprawdzil wszystkie miejsca zerowe. Natomiast enigm32 wyznaczyl reszte z dzielenia. Tak jak napisal mozesz to zrobic hornerem. Ale widze, że zbytnio sie nie orientujesz to najprosciej Ci bedzie po prostu podzelic pisemnie.
\(\displaystyle{ W(x)= (2x ^{4}+x ^{3}-8x ^{2}-x+6 ) : (x+3)}\)

hmm, rozumiem ze dzielic nie umiesz?: p

gothicon · Post autor: **gothicon** » 6 mar 2008, o 14:23

Jak juz podziele, co mam z tym zrobic? Wszystko mi sie pomieszalo

maquer · Post autor: **maquer** » 6 mar 2008, o 15:01

To co Ci zostanie z dzielenia to jest Twoja szukana reszta. :>

gothicon · Post autor: **gothicon** » 6 mar 2008, o 15:25

Mam problem jeszcze z pkt c)

mam to napisac w postaci :\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x- \frac{3}{2} )(x+2)}\)

a wiec mam pierwiastki wielomianu: 1, -1, \(\displaystyle{ \frac{3}{2} i -2 ??}\)

maquer · Post autor: **maquer** » 6 mar 2008, o 15:29

Zgadza się pierwiastki są takie jak napisałeś

gothicon · Post autor: **gothicon** » 6 mar 2008, o 15:30

dzieki wszystkim za pomoc, sry za zamieszanie

JankoS · Post autor: **JankoS** » 8 mar 2008, o 01:23

enigm32 pisze:Podziel pisemnie lub korzystając ze schematu Hornera, otrzymasz:
- reszta: 72

Niegdyś w liceum nauczali twierdzenia Bezout, z którego wynika, żw reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) jest równa \(\displaystyle{ W(a).}\)
Więc szukana reszta wynosi \(\displaystyle{ W(-3)=72.}\)
I chyba łatwiej jej nie można znaleźć, za wyjątkiem olśnienia.