wyznacz reszte wielomianu

[furiii]

Witam, mam problem z nastepujacym zadaniem:


Suma wszystkich wspolczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia wyzszego niz \(\displaystyle{ 2}\) wynosi \(\displaystyle{ 4}\), zas suma wspolczynnikow przy nieparzystych potegach zmiennej rowna sie sumie wspolczynnikow przy jej parzystych potegach. Wyznacz reszte powstałą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x) = 3x^{2} - 3}\)

Wiadomo że suma wszystkich wspolczynnikow to \(\displaystyle{ W(1)}\), wiec zapisuje ze \(\displaystyle{ W(1)=4}\)

Zupelnie nie wiem jak zapisac ta 2 zaleznosc (o wspolczynnikach przy parzystych i nieparzystych potegach zmiennej) podana w tresci, a potem jak dalej wyznaczyc reszte ;/ Bardzo prosze o rozwizanie i wyjasnienie.

Z gory dziekuje i pozdrawiam!

[enigm32]

Druga zależność będzie wyglądała tak: \(\displaystyle{ W(-1)=0}\), ponieważ wtedy sumy współczynników przy nieparzystych potęgach i przy potęgach parzystych będą liczbami przeciwnymi, zatem po ich dodaniu otrzymamy zero.

Dalej można na przykład zapisać:
\(\displaystyle{ W(x)=(3x^2 -3)Q(x)+R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)}\) jest naszą szukaną resztą
\(\displaystyle{ W(1)=4=(3-3)Q(1)+R(1)}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=00=(3-3)Q(-1)+R(-1)}\)
Mamy zatem, że \(\displaystyle{ R(-1)=0 R(1)=4}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ P(x)}\) jest stopnia drugiego, to \(\displaystyle{ R(x)}\) jest sopnia pierwszego lub zerowego lub jest wielomianem zerowym, zatem jest postaci \(\displaystyle{ ax+b}\)
Otrzymuejmy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b=4\\-a+b=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2\\b=2\end{cases}}\)

Szukana reszta:
\(\displaystyle{ \underline{R(x)=2x+2}}\)

Mam nadzieję, że pomogłem i wszystko jest jasne. Pzdr.