Wielomiany jednej zmiennej - wzory Vieta dla rówania 3 st...

[PIHuu]

Otóż, potrzebuje rozwiązania i wytłumaczenia jak ułomnenu ; ) zadania :
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ x _{1},x _{2}, x_{3}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{3} + px^{2} + qx+r=0}\),
to:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + x_{3} = -p\\x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} = q\\x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -r\end{array}}\)

(wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia)

[scyth]

dowód w wikipedii:

[PIHuu]

I mimo rozkminy przy udowodnieniach wzorów Viete'a nie wiem dalej jak wykorzystać to do równania podanego w pierwszym poście.
Mógłby ktoś mi to wytłumaczyć;/?

[magiluk1]

Hej!

To nie takie trudne...

Otoz jesli x1 x2 i x3 sa pierwiastkami wielomianu o ogolej postaci \(\displaystyle{ ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d = 0}\) to ten sam wielomian mozna zapisac w takiej formie a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 (ktora teraz trzeba sie zajac)
Teraz trzeba wymnozyc nawiasy i pogrupowac wyrazy.
Czyli masz \(\displaystyle{ a(x ^{2} - (x1+x2)x + x1x2)(x-x3)=0}\)
Dalej \(\displaystyle{ a(x ^{3} - (x1+x2+x3)x ^{2} + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x - x1x2x3)=0}\)
i w koncu \(\displaystyle{ ax ^{3} - a(x1+x2+x3)x ^{2} + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x - ax1x2x3=0}\)

Teraz jak sobie porownasz wspolczynniki przy x-ach w tym samym wielomianie zapisanym na 2 sposoby \(\displaystyle{ ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d = 0}\) i \(\displaystyle{ ax ^{3} - a(x1+x2+x3)x ^{2} + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x - ax1x2x3)=0}\) to wyjdzie ci ze

-a(x1+x2+x3) = b
a(x1x2 + x1x3 + x2x3)=c
- ax1x2x3=d

czyli jak podzielisz te rownania obustronnie przez a

to wyjdzie ci, ze

x1+x2+x3 = - b/a (czyli to samo co twoje p)
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a (czyli to samo co twoje q)
x1x2x3 = -d/a (czyli to samo co twoje r)

Rozumiesz?

Pozdrawiam