(3 zadania) Badanie własności wielomianów

[Gość]

Badamy własności wielomianów ze zbioru \(\displaystyle{ R[x]}\). Czy prawdą jest, że:
a) wielomian \(\displaystyle{ x^{10} +3x^2 - 1}\) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (można to zrobić bez dzielenia?)
b) liczba 1 jest co najmniej dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ 10x^{11} -11x^{10} +1}\) (bez dzielenia?)
c) wielomian \(\displaystyle{ x^4 -x^2 +1}\) jest nierozkładalny nad \(\displaystyle{ R}\).

Co do pkt c) to wielomian ten ma pierwiastki zespolone, a odpowiedz jest że NIE, nie wiem czemu.

[Yavien]

ad a) Własność Darboux: funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) ciągła w przedziale domkniętym przechodzi wszystkie wartości pośrednie pomiędzy \(\displaystyle{ f(a)}\) a \(\displaystyle{ f(b)}\). Wielomiany są ciągłe, wystarczy znaleźć jakieś a, dla którego wielomian ma wartość ujemną \(\displaystyle{ f(a)<0}\). Z własności Darboux wiemy, że istnieje \(\displaystyle{ x}\) z przedziału , dla którego \(\displaystyle{ f(x)=0}\).
ad b) \(\displaystyle{ w(x)=10x^{11} -11x^{10} +1}\),
\(\displaystyle{ w(1) = 0 \Rightarrow 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) (co najmniej jednokrotnym)
liczymy pochodną \(\displaystyle{ w'(x)}\)
\(\displaystyle{ w'(1) = 0 \Rightarrow 1}\) jest co najmniej dwukrotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ w(x)}\)
i tak dalej, jeśli punkt \(\displaystyle{ x_0}\) jest miejscem zerowym \(\displaystyle{ f(x)}\) i kolejnych jej pochodnych aż do rzędu \(\displaystyle{ k-1}\) włącznie, to \(\displaystyle{ x_0}\) jest k-krotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ f(x)}\).
ad c)skoro wiemy, że \(\displaystyle{ P(x) = x^4 -x^2 +1}\) ma 4 pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, z_4}\), to znaczy, że
\(\displaystyle{ P(x) = (x - z_1) \cdot (x - z_2) \cdot (x - z_3) \cdot (x - z_4)}\)
Pierścień wielomianów nad \(\displaystyle{ C}\) (liczby zespolone - są ciałem) jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, czyli \(\displaystyle{ P(x)}\) nie może mieć żadnych innych pierwiastków zespolonych (w tym rzeczywistych, liczby rzeczywiste są podzbiorem liczb zespolonych)
A tak zupełnie elementarnie, to można wykazywać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) wartość \(\displaystyle{ P(x) > 0}\) , czyli nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego. Czyli dla żadnej liczby rzeczywistej a dwumian \(\displaystyle{ (x - a)}\) nie dzieli \(\displaystyle{ P(x)}\)

[Tux]

a czy w C) nie wystarczy, że \(\displaystyle{ x^{2}=t \Rightarrow t^{2}-t+1=0}\) i wychodzi \(\displaystyle{ \Delta<0 \Rightarrow}\) nie ma pierwiastków Rzeczywistych?

[kamil13151]

Tux, nie, może mieć pierwiastki, ale tylko ujemne.

Moje rozwiązanie a)

\(\displaystyle{ W(x)=x^{10} +3x^2 - 1}\)

Zero nie jest pierwiastkiem powyższego wielomianu.
\(\displaystyle{ t=x^2}\) gdzie \(\displaystyle{ t>0}\)

\(\displaystyle{ W(t)=t^5+3t-1\\
W'(t)=5t^4+3>0}\)
Pochodna posiada tylko dodatnie wartości, więc funkcja jest rosnąca w \(\displaystyle{ R}\).
\(\displaystyle{ W(0)=-1}\), więc funkcja \(\displaystyle{ W(t)}\) posiada dodatnie miejsce zerowe. Jako, iż równanie \(\displaystyle{ x^2=t}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\) ma dwa rozwiązania to funkcja \(\displaystyle{ W(x)}\) ma 2 pierwiastki.

[fon_nojman]

a czy w C) nie wystarczy, że \(\displaystyle{ x^{2}=t \Rightarrow t^{2}-t+1=0}\) i wychodzi \(\displaystyle{ \Delta<0 \Rightarrow}\) nie ma pierwiastków Rzeczywistych?

To jest prawda.

[kamil13151]

Rzeczywiście, jednak jak by współczynniki trzeba było by określić (np. dla jakich m wielomian \(\displaystyle{ (m-2)x^4+(m+1)x^2+m}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych) to byłby to warunek niewystarczający.

[Vax]

To, że wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych nie oznacza, że nie da się go rozłożyć:

\(\displaystyle{ x^4-x^2+1 = (x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)}\)

Co do zadania 1 to oprócz Darboux można też z reguły znaków Kartezjusza.