funcja+ parametr

dyzzio · Post autor: **dyzzio** » 23 lut 2008, o 22:33

dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x^3-px^2+5x-2}\)

a) znajdz taką wartosc p, dla której funkcja f osiaga minimum w pkt. x=5

robert9000 · Post autor: **robert9000** » 23 lut 2008, o 22:43

rozumiem, że minimum lokalne;)
nie widze innej możliwości jak pochodna

\(\displaystyle{ f'(x)=3x^{2}-2px+5}\)

jedno z miejsc zerowych to 5, więc

\(\displaystyle{ f'(5)=0 75-10p+5=0 10p=80 p=8}\)

\(\displaystyle{ f(x)=x^{3}-8x^{2}+5x-2}\)

natkoza · Post autor: **natkoza** » 23 lut 2008, o 22:47

Aby dla \(\displaystyle{ x=5}\) funkcja osiągała minimum to napewno pochodna w tym punkcie musi być równa 0, czyli:
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-2px+5\\
f'(5)=75-10p+5=-10p+80\\
-10p+80=0 \Leftrightarrow -10p=-80 \Leftrightarrow p=8}\)
teraz zbadamy znak pochodnej dla wyznaczonego p
\(\displaystyle{ f'(x)=x^3-8x+5x+5\\
f'(x)>0 \Leftrightarrow 3x^2-16x+5>0 \Leftrightarrow 3(x-5)(x-\frac{1}{3})>0 x\in (-\infty,\frac{1}{3})\cup (5,\infty)\\
f'(x) 3x^2-16x+5 3(x-5)(x-\frac{1}{3}) x\in (\frac{1}{3},5)}\)
czyli faktycznie dla \(\displaystyle{ x=5}\) funkcja osiaga minimum, natomiast dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\) osiąga maksimum