dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x^3-px^2+5x-2}\)
a) znajdz taką wartosc p, dla której funkcja f osiaga minimum w pkt. x=5
funcja+ parametr
-
- Użytkownik
- Posty: 1420
- Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 411 razy
funcja+ parametr
rozumiem, że minimum lokalne;)
nie widze innej możliwości jak pochodna
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^{2}-2px+5}\)
jedno z miejsc zerowych to 5, więc
\(\displaystyle{ f'(5)=0 75-10p+5=0 10p=80 p=8}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x^{3}-8x^{2}+5x-2}\)
nie widze innej możliwości jak pochodna
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^{2}-2px+5}\)
jedno z miejsc zerowych to 5, więc
\(\displaystyle{ f'(5)=0 75-10p+5=0 10p=80 p=8}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x^{3}-8x^{2}+5x-2}\)
Ostatnio zmieniony 23 lut 2008, o 22:48 przez robert9000, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2278
- Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 602 razy
funcja+ parametr
Aby dla \(\displaystyle{ x=5}\) funkcja osiągała minimum to napewno pochodna w tym punkcie musi być równa 0, czyli:
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-2px+5\\
f'(5)=75-10p+5=-10p+80\\
-10p+80=0 \Leftrightarrow -10p=-80 \Leftrightarrow p=8}\)
teraz zbadamy znak pochodnej dla wyznaczonego p
\(\displaystyle{ f'(x)=x^3-8x+5x+5\\
f'(x)>0 \Leftrightarrow 3x^2-16x+5>0 \Leftrightarrow 3(x-5)(x-\frac{1}{3})>0 x\in (-\infty,\frac{1}{3})\cup (5,\infty)\\
f'(x) 3x^2-16x+5 3(x-5)(x-\frac{1}{3}) x\in (\frac{1}{3},5)}\)
czyli faktycznie dla \(\displaystyle{ x=5}\) funkcja osiaga minimum, natomiast dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\) osiąga maksimum
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-2px+5\\
f'(5)=75-10p+5=-10p+80\\
-10p+80=0 \Leftrightarrow -10p=-80 \Leftrightarrow p=8}\)
teraz zbadamy znak pochodnej dla wyznaczonego p
\(\displaystyle{ f'(x)=x^3-8x+5x+5\\
f'(x)>0 \Leftrightarrow 3x^2-16x+5>0 \Leftrightarrow 3(x-5)(x-\frac{1}{3})>0 x\in (-\infty,\frac{1}{3})\cup (5,\infty)\\
f'(x) 3x^2-16x+5 3(x-5)(x-\frac{1}{3}) x\in (\frac{1}{3},5)}\)
czyli faktycznie dla \(\displaystyle{ x=5}\) funkcja osiaga minimum, natomiast dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\) osiąga maksimum