Matematyka.pl

przeglądałem już to forum ale nie znalazłem nic podobnego, więc napisze

dostałem na egzaminie ustnym(niestety :/) takie oto zadanie:
Znaleźć wszystkie pierwiastki równania z^4 + z^3 + z^2 + z^1 + Z^0.
I z tego co wiem to zadanie to jest m.in przeznaczone na sprawdzenie znajomości wzroó Cardano więc prawdopodobnie trzeba to uprościć do wielomianu podobnego do do z^3 + pz + q. Niestety nie wiem jak. Jedyne co kojarze to prawdopodobnie są 2 etapy jeden to dzielenie całego wielomianu przez jakąś wartość i następnie podstawienie pewnego wyrażenia tak aby pozbyć się drugiej potęgi.
Zależy mi jedynie na sposobie redukcji tego wielomianu bo z resztą to już problemy nie ma

podstawiasz za z:
\(\displaystyle{ z=x-\frac{b}{4}=\frac{4x-1}{4}}\)

i przedstawiasz dane równanie w postaci: \(\displaystyle{ x^{4}+px^{2}+qx+r=0}\)

\(\displaystyle{ (\frac{4x-1}{4})^{4}+(\frac{4x-1}{4})^{3}+(\frac{4x-1}{4})^{2}+\frac{4x-1}{4} +1=x^{4}+\frac{5x^{2}}{8}+\frac{5x}{8}+\frac{205}{256}}\)

pierwiastkami naszego równania sa odpowiednio dobrane pierwiastki równania:
\(\displaystyle{ y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0}\)

Jeśli chodzi o równanie \(\displaystyle{ z^4+z^3+z^2+z+1=0}\), to jest ono równoważne równaniu:
\(\displaystyle{ \frac{z^5-1}{z-1}=0}\)
które nie ma pierwiastków w liczbach rzeczywistych, ma natomiast cztery pierwiastki zespolone (pierwiastki piątego stopnia z jedynki bez samej jedynki).

Q.

Równanie takowe najlepiej potraktować jako równanie zwrotne.