Nierówność z parametrem

[Kapol]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) nierówność \(\displaystyle{ x ^{4}+kx^{2}+1>0}\) jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x}\)

Głównie to proszę pomoc w podaniu złożeń dla nierówności \(\displaystyle{ t^{2}+kt+1>0}\)

[fanch]

równanie \(\displaystyle{ t^2+kt+1}\)
musi nie miec pierwiastków, albo mieć jeden pierwiastek ujemy, albo 2 pierwiastki ujemne czyli:

\(\displaystyle{ \Delta0 \\t_{1}+t_{2}}\)

[arpa007]

\(\displaystyle{ t_{1}= - \frac{k+ \sqrt{(k-2)(k+2)}}{2}\\t_{2}= - \frac{k-\sqrt{(k-2)(k+2)}}{2}}\)
\(\displaystyle{ t \in(- \infty;t_{2}) \cup (t_{1}; \infty)}\)
podstawisz sobie teraz twoje \(\displaystyle{ t=x^2}\), ale pamietajac o zalozeniu z 1 linijki: \(\displaystyle{ (k-2)(k+2) \geqslant 0 \Rightarrow k \in (- \infty; -2> \cup }\)

edit1:lub korzystajac z wzorow Viette'a, jak zaproponowal fanch
wyjdzie to samo

[Kapol]

Czy mógł by mi ktoś wytłumaczyć dlaczego "fanch" napisał że

równanie \(\displaystyle{ t^2+kt+1}\)
musi nie miec pierwiastków, albo mieć jeden pierwiastek ujemy, albo 2 pierwiastki ujemne

Jak sam próbowałem ułożyć założenia to myślałem że przynajmniej jeden pierwiastek \(\displaystyle{ t}\)musi być dodatni żeby \(\displaystyle{ x}\) taki istniał. Z mojego myślenia wynikło to:


\(\displaystyle{ \Delta0\end{cases}\ \ lub \ \ \left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \\t_{1}*t_{2}>0 \\t_{1}+t_{2}>0\end{array}}\)

Proszę wytłumaczcie mi to.

[ Dodano: 22 Lutego 2008, 01:45 ]
Czy mógł by mi ktoś wytłumaczyć dlaczego "fanch" napisał że

równanie \(\displaystyle{ t^2+kt+1}\)
musi nie miec pierwiastków, albo mieć jeden pierwiastek ujemy, albo 2 pierwiastki ujemne

Jak sam próbowałem ułożyć założenia to myślałem że przynajmniej jeden pierwiastek \(\displaystyle{ t}\)musi być dodatni żeby \(\displaystyle{ x}\) taki istniał. Z mojego myślenia wynikło to:


\(\displaystyle{ \Delta0\end{cases}\ \ lub \ \ \left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \\t_{1}*t_{2}>0 \\t_{1}+t_{2}>0\end{array}}\)

Proszę wytłumaczcie mi to.

[fanch]

Jak sam próbowałem ułożyć założenia to myślałem że przynajmniej jeden pierwiastek t musi być dodatni żeby x taki istniał.

a własnie chodzi o to aby nie istniał , kazdy pierwiastek\(\displaystyle{ t}\) musi byc ujemny, bo wtedy nierówaność \(\displaystyle{ x^4+kx^2+1>0}\) jest prawdziwa dla kazdego x,
gdyby jakis pierwiastek \(\displaystyle{ t}\) , byłby dodatni , to istniałby tez taki \(\displaystyle{ x}\), który byłby miejscem zerowym w/w nierówności i dla tego x ta nierównosc nie była by >0 .