Ile różnych pierwiastków ma równanie

[takira89]

Niech n będzie liczbą naturalną parzystą.
Ile różnych pierwiastków ma równanie
\(\displaystyle{ x^{n+1} + 64 - x^{n}-64x =0}\)

[escargot]

\(\displaystyle{ n=4k N}\)
\(\displaystyle{ x^{n+1}-64x-x^{n}+64=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^{n}-64)-(x^{n}-64)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{4k}-64)(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2k}-8)(x^{2k}+8)(x-1)=0}\)

stąd równanie ma 3 pierwiastki

edit 1: na początku wziołem, że równanie parzystego stopnia n ma n pierwiastków co jest oczywiście wpadką przepraszam za zamieszanie

[RyHoO16]

\(\displaystyle{ x^{n+1}-x^{n}-64x+64=0 \\
x^{n}(x-1)-64(x-1)=0 \\
(x-1)(x^{n}-64)=0}\)

Czyli zawsze masz pierwiastek równy jeden a jak będziesz wstawiać za"n" liczbę parzystą to zawsze będziesz miała 3 pierwiastki

[arpa007]

\(\displaystyle{ x x^n-x^n-64x+64=0\\x^n(x-1)-64(x-1)=0\\(x^n-64)(x-1)=0\\x=1 x^n-64=0\\x=1 x= \sqrt[n]{64} - \sqrt[n]{64}}\)
czyli mamy zawsze 3 pierwiastki, dla parzystych n