Parametr a i cztery pierwiastki?

[bubble0soap]

Znajdź wartości parametru a, dla których równanie \(\displaystyle{ ax^{4}}\) - \(\displaystyle{ x^{2}}\) + 1=0 ma cztery pierwiastki.

[fanch]

za \(\displaystyle{ x^2}\) podstawiasz \(\displaystyle{ t}\) i masz :

\(\displaystyle{ at^2-t+1=0}\)
zeby 1sze równanie miało 4 pierwiastki, to to 2gie musi miec 2 , i oba muszą byc dodatnie, czyli:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \Delta>0\\t_{1}*t_{2}>0\\t_{1}+t_{2}>0 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \Delta=1-4a}\)
\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}=\frac{1}{a}}\)
\(\displaystyle{ t_{1}+t_{2}=-\frac{-1}{a}}\)

[arpa007]

podstaw \(\displaystyle{ t=x^2}\)
\(\displaystyle{ at^2-t+1=0}\)
2 pierwiastki ma miec wiec \(\displaystyle{ \Delta>0 = 1-4a>0 = 4a}\)

[robert9000]

po pierwsze \(\displaystyle{ a \neq 0}\)

niech \(\displaystyle{ t=x^{2} \wedge t \geqslant 0}\)

\(\displaystyle{ at^{2}-t+1=0}\) musi mieć 2 różne pierwiastki dodatnie, więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0\\ t_{1}+t_{2}>0 \\ t_{1}t_{2}>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1-4a>0 \\ \frac{1}{a}>0 \\ \frac{1}{a}>0 \end{cases} \begin{cases} a< \frac{1}{4} \\ a>0 \end{cases} a (0, \frac{1}{4} )

powinno być dobrze;)}\)