karoton soku zuzyc jak najmniej materialu

[Atraktor]

17/33

Soki owocowe rozlewane SA do pudelka w kształcie prostopadłościany w którym stosunek długości krawędzi podstawy jest rowny 1:2 a objętość wynosi 1 l jaka powinna być wysokość pudelka aby zużyć jak najmniej materialu?

[Kris-0]

To mi bardziej pasuje do rachunku różniczkowego (czytaj liczenie ekstremów)
Musisz przedstawić powierzchnię boczną jako funkcję wysokości. policzyć I pochodną i przyrównać do 0. Obliczyć z tego h jako wielokrotność długości krawędzi podstawy i podstawić do wzoru na objętość i wyliczyć z tego długość krawędzi podstawy i potem wyliczyć h. Możesz policzyć II pochodną aby upewnić się, że liczysz minimum.

Być może istnieje jakaś inna metoda geometryczna wymagająca sprytu, ale nie chce mis się myśleć.

[Atraktor]

Kris-0,
pierwsza pochodna wyszla mi tyle:

\(\displaystyle{ Pc'(x)= 2x^{2}+ \frac{3}{x}}\)

mozesz mi to obliczyc dalej? bo nei wiem jak;/

[Kris-0]

A skąd Ci taka pochodna wyszła?

[Atraktor]

eh to nie pochodna zel przepisalem to jest rownanie poprostu Pc(x)
a pochodna:
\(\displaystyle{ Pc'(x)=4x - \frac{3}{x^{2}}}\)

[Kris-0]

A skąd ten wzór się wziął? Co to w ogóle jest x?

[escargot]

\(\displaystyle{ x}\) - dł. krótszej podstawy
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość

\(\displaystyle{ V=2x^{2}h}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{1}{2x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ P_{c}=4x^{2}+6xh}\), bo kartonik ma (raczej) górną podstawę
\(\displaystyle{ P_{c}=4x^{2}+\frac{3}{x}}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=8x-\frac{3}{x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{8x^{3}-3}{x^{2}}}\)
szukamy minimum:
\(\displaystyle{ 8x^{3}-3=0}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt[3]{3}}{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ h=\frac{2}{\sqrt[3]{9}}}\)

[Kris-0]

Ja robiłem tak trochę inaczej i dlatego nie mogłem się połapać jak to równanie wam wychodzi.
\(\displaystyle{ a}\) długość jednej krawędzi podstawy
\(\displaystyle{ h}\) wysokość pudełka
\(\displaystyle{ \begin{cases} V=2a^2h\Rightarrow a^2=\frac{2V}{h}\Rightarrow a=\sqrt{\frac{2V}{h}} \\ S(h)=4a^2+4ah+2ah=4a^2+6ah\end{cases}}\)
teraz podstawiamy za a to co wyliczyliśmy wcześniej
\(\displaystyle{ S(h)=\frac{2V}{h}+6\sqrt{\frac{V}{2}}\cdot \frac{h}{h^{\frac{1}{2}}} \\ S(h)=S(h)=\frac{2V}{h}+6\sqrt{\frac{V}{2}}\cdot \sqrt{h} \\ \frac{dS(h)}{dh}=0 \frac{6\sqrt{V}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{h}}}-\frac{2V}{h^2}=0 \\ \frac{3\sqrt{V}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{h}}}=\frac{2V}{h^2} \\... \\h=\frac{2}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{V}=\frac{2}{\sqrt[3]{9}}[dm]}\)

[Atraktor]

escargot, a co do tego zadani to idzie rowniez obliczyc maksimum? bo przeciez zawsze jak obliczalismy ekstremum funkcji to bylo min i max a tu jest tylko min. zatem dlaczego?

[escargot]

nie ta funkcja nie osiąga maksimum
zauważ, że pochodna ma tylko jedno miejsce zerowe, czyli jeden punkt podejrzany o istnieni ekstremum,
\(\displaystyle{ f'(x)0}\) dla \(\displaystyle{ x (\frac{\sqrt[3]{3}}{2};\infty)}\)
i stad wynika, że f(x) w punkcie \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{3}}{2}}\) osiąga minimum a nie maksimim