(3 zadania) Pierwiastki i suma współczynników wielomian

[mucha]

Proszę, pomóżcie...
1. wyznaczyć wartości m, dla których równanie \(\displaystyle{ (m-2)x^4-2(m+3)x^2+(m-1)=0}\) ma cztery pierwiastki różne od \(\displaystyle{ 0}\).
2. wiedząc, że \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ 2x^3+mx^2-13x+n=0}\) obliczyć \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) oraz wyznaczyć trzeci pierwiastek równania.
3. Wyznaczyć sumę współczynników wielomianu \(\displaystyle{ (x^3-x+1)^{50}+(2x^2-2x+1)^{30}}\)

[Arek]

W trzecim wystarczy sprawdzić wartość wielomianu dla \(\displaystyle{ x=1}\), czyli wychodzi \(\displaystyle{ 2}\).

W drugim po podstawiemu \(\displaystyle{ W(2)=0}\), \(\displaystyle{ W(3)=0}\), dostajemy układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4m+n-10=0 \\ 9m+n+123=0 \end{cases}}\)


reszta jest banalna... - wyznaczasz wielomian i dzielisz go przez \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)}\)

W pierwszym:

- aby sprawdzić czy równanie ma 4 pierwiastki musisz stwierdzić, kiedy delta równania: \(\displaystyle{ (m-2)t^2-2(m+3)t+(m-1)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ t=x^2}\) jest nieujemna. Później oba pierwiastki (względnie podwójny) równania muszą być dodatnie, a zatem:
(1) \(\displaystyle{ \frac{2(m-3)}{m-2}>0}\)
(2) \(\displaystyle{ \frac{m-1}{m-2} >0}\)

Kiedy się już o tym upewnisz, będzie pewność, że pierwiastki są 4. Jak się dowiesz, czy są różne od 0. Już to będziesz wiedziała. Jako, że znaki w nierównościach (1), (2) są ostre, to żaden z kwadratów pierwiastka równania jest różny od 0.

Pozdrawiam