Wyznacz pierwiastki.

[pawelplwl]

1)
Jeden z pierwiastków wielomianu trzeciego stopnia o wsp. 1 przy największej potędze zmiennej jest liczbą dodatnią,drugi jest liczbą do niej przeciwną,a trzeci pierwiastek jest dwukrotnością pierwszego. Wyznacz pierwiastki wielomianu, jeśli wiesz,że są one liczbami wymiernymi i \(\displaystyle{ W(3)=-5}\).

2)Przez jaki czynnik liniowy pomnożyć wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+1}\) ,aby pierwiastkiem wielomianu była liczba 2 i aby wartość wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ (-4)}\) wynosiła \(\displaystyle{ 126}\)?

1) Ułożyłem coś takiego: \(\displaystyle{ W(x)=(x-p)(x+p)(x-2p)}\) i myślę ,że to co wyjdzie pomnożyć przez x=3 i to ma sie równać -5, wtedy znajdę p. Tylko coś mi nie wychodzi.

2)Tutaj pomyślałem ,że \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+1}\) pomnożę przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) ,ale wtedy \(\displaystyle{ W(-4) {126}}\)

Proszę o wskazówki.

[escargot]

ad.1
\(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}\)
\(\displaystyle{ W(3)=9a+3b+c+32=-5}\)

\(\displaystyle{ (x-d)(x+d)(x-2d)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-2dx^{2}-d^{2}x+2d^{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-2d \\ b=-d^{2} \\ c=2d^{3} \end{cases}}\)

Podstawiamy do \(\displaystyle{ W(3)=-5}\):
\(\displaystyle{ 2d^{3}-3d^{2}-18d+32=0}\)
\(\displaystyle{ W(2)=0}\) , czyli \(\displaystyle{ d=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-4 \\ b=-4 \\ c=16 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x^{2}-4x+16=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x-4x^{2}+16=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^{2}-4)-4(x^{2}-4)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x+2)(x-4)=0}\)
\(\displaystyle{ x \{ -2,2,4 \}}\)

[ Dodano: 10 Lutego 2008, 16:17 ]
Ad.2
\(\displaystyle{ Q(x)=(x^{3}+1)(ax+b)}\)
\(\displaystyle{ -\frac{b}{a}=2}\) , \(\displaystyle{ a 0}\)

\(\displaystyle{ Q(-4)=126}\)
\(\displaystyle{ Q(-4)=(-64+1)(-4a+b)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -63(-4a+b)=126 \\ b=-2a \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=\frac{1}{3} \\ b=-\frac{2}{3} \end{cases}}\)