Udowodnij że dla kazdego p nalezacego do R wielomian W(x)=\(\displaystyle{ x^{3} -(p+1)x ^{2} +(p-3)x+3}\) ma pierwiastki calkowite:
a)wyznacz pozostale pierwiastki
b)dla jakich p pierwiastki te tworza ciag arytmetyczny
Udowodnij że dla kazdego p nalezacego do R
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Udowodnij że dla kazdego p nalezacego do R
Łatwo sprawdzić, że
\(\displaystyle{ W(1)=1-(p+1)+(p-3)+3=0}\)
zatem dla dowolnego p, wielomian ma całkowite pierwiastki.
a)
\(\displaystyle{ x^3-(p+1)x^2+(p-3)x+3=(x-1)(x^2+bx+c) \\ x^3-(p+1)x^2+(p-3)x+3=x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c \\ \begin{cases} b-1=-(p+1) \\ c-b=p-3 \\ -c=3 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu powyższego układu otrzymasz postać wielomianu W(x) i łatwo wykonać pozostałe polecenia z zadania.
\(\displaystyle{ W(1)=1-(p+1)+(p-3)+3=0}\)
zatem dla dowolnego p, wielomian ma całkowite pierwiastki.
a)
\(\displaystyle{ x^3-(p+1)x^2+(p-3)x+3=(x-1)(x^2+bx+c) \\ x^3-(p+1)x^2+(p-3)x+3=x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c \\ \begin{cases} b-1=-(p+1) \\ c-b=p-3 \\ -c=3 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu powyższego układu otrzymasz postać wielomianu W(x) i łatwo wykonać pozostałe polecenia z zadania.