Równość wielomianów

[Tomek_Z]

Dane mamy wielomiany:

\(\displaystyle{ W(x)=2 x^{3} + a x^{2} -2bx - 3 \\ P(x)=2 x^{3} + 5 x^{2} + 3x - 3}\)

mogłby mi ktos wytlumaczyc skąd się bierze a=5 i b= -3/2 ??

[Sylwek]

Wskazówka: jest takie twierdzenie

Wielomiany:
\(\displaystyle{ W(x)=a_1 x^n + a_2 x^{n-1} + \ldots + a_n}\)
\(\displaystyle{ P(x)=b_1 x^m + b_2 x^{m-1} + \ldots + b_m}\)
są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ m=n a_1=b_1 a_2=b_2 \ldots a_n=b_m}\)

[Tomek_Z]

Możnaby prosić o bardziej łopatologiczne wytłumaczenie? Nie było mnie na lekcjach z tego zakresu i nadrabiam zaległości z podręcznika, stąd te problemy :/

[Sylwek]

Wysil umysł. Wielomiany są równe - czyli są takie same, identyczne, współczynniki przy jednakowych potęgach są sobie równe. Zatem w naszym przykładzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=5 \\ -2b=3 \end{cases}}\)

[Tomek_Z]

A teraz mam jeszcze takie zadanie:

Dane są wielomiany:

\(\displaystyle{ W_(x)= 2x^{2}-6x+5 \\ P_(x) = ax + b \\ Q_(x)= 4x^{3} - 6x^{2}-8x + 15}\)

Wyznacz a i b, dla których \(\displaystyle{ W_(x) P_(x) = Q_(x)}\)

Najpierw więc wymnożyłem W(x) przez P(x):

\(\displaystyle{ W_(x) P_(x) = -4x^{3}a - 4x^{2}b + 5ax + 5b}\)

I teraz przyrównuję do Q(x) :

\(\displaystyle{ -4x^{3}a - 4x^{2}b + 5ax + 5b = 4x^{3} - 6x^{2}-8x + 15}\)

I jak teraz wyznaczyć te a i b ?

[robert9000]

tak, dokładnie w ten sposób. Tylko widzę, że źle wymnozyłeś te wielomiany powinno być:
\(\displaystyle{ 2ax^{3}+(2b-6a)x^{2}......}\)

[Tomek_Z]

Więc przyrównuję jeszcze raz:

\(\displaystyle{ -4x^{2}a + 2x^{2}b - 6xb + 5ax + 5b = 4x^{3} - 6x^{2}-8x + 15}\)

Nadal jednak nie wiem jak wyznaczyć a i b...

[robert9000]

powiedziałem Ci, że zle wymnozyłeś, ale na tym przykładzie co napisałeś teraz masz:
\(\displaystyle{ -4ax^{3}.....=4x^{3}....}\) wielomiany sa wtedy równe, kiedy współczynniki przy odpowiednich potegach liczby x są sobie równe, czyli prze x musi byc to samo, przu \(\displaystyle{ x^{2}}\) musi byc to samo, przy \(\displaystyle{ x^{3}}\) musi byc to samo przy \(\displaystyle{ x^{n}}\) musi byc to samo, wiec tutaj masz:
-4a=4 czyli a=-1
nastepnie porównujesz przy pozostałych i wychodzi Ci a oraz b
pamiętaj zeby sprawdzić, czy wzajemnie się nie wykluczają, tzn ze wychodzi a=1 i a=3


pamiętaj, masz źle wymnożone wielomiany!!

[Tomek_Z]

Dobra, najpierw wymnóżmy te wielomiany:

\(\displaystyle{ (2x^{2}-6x+5) (ax + b)}\)

Mnoże każdy czynnik przez każdy i otrzymję:

\(\displaystyle{ 2x^{3}a + 2x^{2}b - 6x^{2}a - 6xb + 5ax + 5b}\)

Gdzie ja popłniam błąd?

[robert9000]

tutaj jest dobrze, popełniasz błąd gdzy redukowaniu, z wyrazem \(\displaystyle{ x^{3}}\) masz tylko 2a, a potem nagle robi Ci sie -4a tak samo z pozostałymi