wyznacz pierwiastki wielomianu jesl iwiesz...

[truskawka89]

jeden z pierwiastkow wielomianu trzeciego stopnia o wpsolczynniku \(\displaystyle{ 1}\) przy najwiekszej potedze jest liczba dodatnia, drugi jest lcizba do niej przeciwna, a trzeci pirwiastek jest dwukrotnoscia pierwszego. Wyznacz pierwiastki wielomianu, jesli wiesz, ze sa one liczbami wymiernymi i \(\displaystyle{ W(3)= -5}\)

[escargot]

\(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}\)
\(\displaystyle{ W(3)=9a+3b+c+32=-5}\)

\(\displaystyle{ (x-d)(x+d)(x-2d)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-2dx^{2}-d^{2}x+2d^{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-2d \\ b=-d^{2} \\ c=2d^{3} \end{cases}}\)

Podstawiamy do \(\displaystyle{ W(3)=-5}\):
\(\displaystyle{ 2d^{3}-3d^{2}-18d+32=0}\)
\(\displaystyle{ W(2)=0}\) , czyli \(\displaystyle{ d=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-4 \\ b=-4 \\ c=16 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x^{2}-4x+16=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x-4x^{2}+16=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^{2}-4)-4(x^{2}-4)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x+2)(x-4)=0}\)
\(\displaystyle{ x \{ -2,2,4 \}}\)