reszta wielomianu

[Fjodor]

Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ x^{3} +2 x^{2}-x-2}\) jest równa \(\displaystyle{ x ^{2} +x + 1}\) Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ V(x)= x ^{2} - 1}\)

[wb]

\(\displaystyle{ W(x)=(x^3+2x^2-x-2) Q(x)+x^2+x+1 \\ W(x)=(x-1)(x+1)(x+2) Q(x)+x^2+x+1 \\ \\ W(x)=(x^2-1) P(x)+ax+b \\ \\ W(1)=1^1+1+1=3 3=a+b \\ W(-1)=(-1)^2-1+1=1 1=a+b}\)

Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=3 \\ a-b=1 \end{cases}}\)
otrzymasz rozwiazanie.

[Fjodor]

skad sie wzielo to 3 równanie

[robert9000]

3 równanie jest to zapisanie wielomianu W(x) jako wielomian V(x) razy jakis wielomian P(x) (który nas wogóle nie interesuje, jest on tylko z przyczyn formalnych) + reszta jaka będzie
na przykładzie liczb, jak dzielisz 20 przez 3 to masz wynik 6 i reszty 2, czlyli 20=3*6+2

[Fjodor]

a gdzie sie podziało mnożenie \(\displaystyle{ (x+2) Q(x)}\) i skad wiadomo ze tam bedzie liniowa \(\displaystyle{ ax +b}\)

[robert9000]

jest to porpstu z pozkładu tego wielomiany co masz wyżej a wiadomo, że reszta jest ax+b, ponieważ stopień wielomianu jaki jest w reszcie, jest ZAWSZE mniejszy od wielomianu przez który dzielisz. Wiec np, jeżeli dzielisz przez wielomian 2 stopnia, to reszta może byc: ax+b lub b lub 0