suma pierwiastków

[Kapol]

Takie ciekawe zadanko:
Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{4} + 4x^{3} + ax^{2} +bx +2}\) ma cztery rozne pierwiastki oblicz ich sume

[Sylwek]

Podejdziemy sprytnie to zadanko. Ze wzorów Viete'a wynika, że:
\(\displaystyle{ -(p+r+q+s)=4 \\ p+q+r+s=-4}\)

Gdzie \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) to nasze pierwiastki

[Kapol]

Chyba troszkę za daleko wybiegłem z tymi zadaniami. Nie znam takiego wzoru -(p+r+q+s).
Ale dzięki

[bosa_Nike]

Z w/w wzorów wynika, że \(\displaystyle{ p+q+r+s=\frac{-4}{2}}\).

[Sylwek]

Tak, racja, zapomniałem podzielić przez pierwszy wyraz, dzięki bosa_Nike za uważne przeglądanie .

Wzory Viete'a wynikają z przedstawienia wielomianu w postaci iloczynowej i wymnożeniu nawiasów, tzn. w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ W(x)=2(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)=2x^4-2(p+q+r+s)x^3+ \\ +2(pq+pr+ps+qr+qs+rs)x^2-2(pqr+pqs+prs+qrs)x+pqrs}\)

No i teraz wystarczy przyrównać odpowiednie współczynniki do siebie

[Kapol]

Czy ten wzór działa tylko gdy są 4 pierwiastki i gdy wielomian jest 4 stopnia ?

[ Dodano: 5 Lutego 2008, 18:12 ]
Czy ten wzór działa tylko gdy są 4 pierwiastki i gdy wielomian jest 4 stopnia ?
Jeszcze chciał bym wiedzieć skąd wiadomo że ta suma jet równa -2(a dokładnie skąd wzięła się ta 4)?

[bosa_Nike]