Parametr "m" - cztery różne pierwiastki.

[Weber]

Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ m}\). dla których równanie \(\displaystyle{ \((x^{2} + 2x - 3\))[x^{2} + (m + 1)x + 4]=0}\) ma cztery różne pierwiastki?

[Dargi]

Możemy to rozpisać tak:
\(\displaystyle{ (x+3)(x-1)[x^2+(m+1)x+4]=0\iff x=-3 \vee x=1 \vee x^2+(m+1)x+4=0}\)
Jak widzimy chcąc nie chcąc mamy 2 pierwiastki więc aby mieć 4 różne pierwiastki muszą być spełnione warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(-3)\neq 0 \\ f(1)\neq 0 \end{cases}}\)

[Sylwek]

\(\displaystyle{ (x-3)(x+1) \left x^2 + (m+1)x + 4 \right = 0}\)

Liczby \(\displaystyle{ -1, \ 3}\) są pierwiastkami tego równania. Więc równanie:
\(\displaystyle{ x^2+(m+1)x+4}\) musi mieć:
a) Deltę dodatnią
b) rozwiązaniami tego równania nie mogą być -1 i 3.
Można to zapisać jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m^2+2m+1-16>0 \\ 9+3(m+1)+4 0 \\ 1 - (m+1)+4 0 \end{cases}}\)

Rozwiązujesz - wychodzi

Dargi, jak chcesz pisać \(\displaystyle{ f(3)}\), to najpierw zdefiniuj, co to oznaczasz przez \(\displaystyle{ f(x)}\) (niby oczywiste, ale na jakimś egzaminie punkty mogą polecieć ).

[robert9000]

z pierwszego nawiasu liczysz Delte i od razu masz 2 pierwiastki x=-3 i x=1, wiec teraz żeby w drugim nawiasie były 2 pieriwatski (zeby w sumie były 4) to:
\(\displaystyle{ \Delta >0}\) różna nie może być, bo byłby pierwiastek podwujny
tylko, żeby nie były takie same, to \(\displaystyle{ F(x)=x^{2}+(m+1)x+4 \ => \ F(-3) 0 \ \ F(1) 0}\)

[Weber]

Dziękuję wszystkim, te wszystkie zadania, którymi Was męczę okazują się naprawdę... banalnie proste. Jeszcze raz dziękuję za pomoc