Parametr - dwa różne pierwiastki. Założenia.

Weber · Post autor: **Weber** » 30 sty 2008, o 20:50

Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x^{4}+(m-1)x^{2}+m^{2}+4m-5=0}\) ma dwa różne pierwiastki?

Proszę o same założenia.
Dziękuję.

robert9000 · Post autor: **robert9000** » 30 sty 2008, o 21:06

niech \(\displaystyle{ t=x^{2} \ \wedge \t \geqslant 0}\) teraz, aby były dwa różne pierwiastki, to jedno t musi być dodatnie (i tutaj masz 2 pierwiastki x) a drugie ujemne => czyli z wzorów Vieta iloczyn ujemny
i to koniec;), jeżeli oba t były by mniejsze od 0, to nie było by wcale, gdyby t1=t2, to dla ujemnych odpada, dla dodatnich odpada (bo były by wtedy 4 jednakowe) i dla obu t >0 odpada, bo były by 4 pierwiastki naszego róznania

oczywiście pamiętaj, jak już zamienisz \(\displaystyle{ x^{2} \ \na t}\) to żeby korzystać z wzorów Viety, to \(\displaystyle{ \Delta>0}\) kiedy bedzie rózna, to wykluczamy, bo wtedy t1=t2...

Weber · Post autor: **Weber** » 30 sty 2008, o 21:21

Ok, rozumiem.
Dziękuję.. )

robert9000 · Post autor: **robert9000** » 30 sty 2008, o 21:38

po podatwieniu -7 mamy: \(\displaystyle{ x^{4}-8x+16 = (x^{2}-4)^{2} = [(x+2)(x-2)]^{2} = (x+2)(x+2)(x-2)(x-2)}\) i jak dla mnie to ma 4 pierwiastki, a nie dwa, pomino tego, że są tylko dwie wartości, ale według tego, powinno być
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\) oraz iloczyn mniejszy od 0
albo \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) i suma pierwiastków >0
ponieważ, gdyby suma była 0, to t1=t1=0 czyli x byłby czterokrotnym i x wynosił by 0