Pierwiastki wielomianów.

[_Mithrandir]

Znajdź rozwiązania rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_2}\), \(\displaystyle{ x_3}\) równanie \(\displaystyle{ x^3-6x^2+px+q=0}\) z niewiadomą x wiedząc, że \(\displaystyle{ x_1:x_2:x_3=1:2:3}\).

Od czego zacząć?

[Szemek]

Wzory Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego:
Jeżeli \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \end{cases}}\)

[_Mithrandir]

To powinno wystarczyć, dzięki A tak z ciekawości - da się bez wzorów Viete'a? Bo dla wielomianu stopnia trzeciego nie mam wzorów Viete'a w podręczniku, podejrzewam, że to nieco poza programem?

[Szemek]

uzależnijmy od jednego pierwiastka pozostałe, czyli wykorzystajmy zależność pomiędzy pierwiastkami
\(\displaystyle{ x_1}\)
\(\displaystyle{ x_2=2x_1}\)
\(\displaystyle{ x_3=3x_1}\)
\(\displaystyle{ (x-x_1)(x-2x_1)(x-3x_1)}\) oraz \(\displaystyle{ x^3-6x^2+px+q}\) są równymi wielomianami
po wymnożeniu i uproszczeniu porównaj odpowiednie współczynniki przy 'x'