wyznaczenie reszty

[mart1na]

reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2}\) jest rowna \(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\). wyznacz reszte z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ V(x)=x^{2}-1}\).

[robert9000]

\(\displaystyle{ P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=x^{2}(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^{2}-1)=(x+2)(x-1)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-1)(x+1)Q(x) \ (Q(x) \ \jest \ \wynikiem \ \podzielenia \ W(x) \ \przez \ P(x) )+x^{2}+x+1}\)
dzielimy nasz wielomian W(x) przez V(x):
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{V(x)} = \frac{(x+2)(x-1)(x+1)Q(x)+x^{2}+x+1}{(x-1)(x+1)} = (x+2)Q(x) + \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-1}}\) wiec żeby zobaczyć jaka reszta wyjdzie, przeba podzielić \(\displaystyle{ x^{2}+x+1 \ \przez \ x^{2}-1}\) wyjdzie nam 1+ (??) i (??) jest nasza szukaną resztą. Niestety trzeba to juz dzielić pisemnie, jak się nie pomyliłem to reszta wynosi x+2

[escargot]

\(\displaystyle{ W(x)=P(x) Q(x)+R(x)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{3}+2x^{2}-x-2) Q(x)+x^{2}+x+1}\)
\(\displaystyle{ V(x)=(x-1)(x+1)}\)

\(\displaystyle{ W(-1)=0 Q(-1)+1=1}\)
\(\displaystyle{ W(1)=0 Q(1)+3=3}\)
Skoro szukamy reszty z dzielenia wielomianu 3 st. przez wielomian st. 2, to reszta musi być wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego:
\(\displaystyle{ R_{1}(x)=ax+b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b=1\\a+b=3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1\\b=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ R_{1}(x)=x+2}\)