Znajdź parametry a i b.

[escargot]

Jednym z rozwiązań równania \(\displaystyle{ 3x^{3}+ax^{2}+bx+12=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a , b C}\), jest liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\).Znajdź a i b. Obliczyłem wartośc tego wielomiany dla \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\) i porównałem ja do zera, ale dostałem równanie pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi i nie wiem jak dalej. Proszę o jakies podpowiedzi.

[robert9000]

\(\displaystyle{ 3(x-(1+ \sqrt{3} )(x^{2}+dx+c)=3x^{3}+ax^{x}+bx+12}\) wymnażasz i porównujesz współczynniki przy odpowiednich potegach x

[escargot]

Po wymnożeniu otrzymałem:
\(\displaystyle{ x^{3} + ( c - 1 - \sqrt{3} ) x^{2} + ( d - c - c \sqrt{3} ) x - ( 1 + \sqrt{3} ) d}\)
Z porównania wspólczynników po żmudnych dzialaniach z pierwiastkami wychodzi na końcu równanie z dwoma niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b}\).
Kiedy się policzy teraz do tego
\(\displaystyle{ W ( 1 + \sqrt{3} ) = 0}\)
\(\displaystyle{ a ( 4 + 2\sqrt{3}) + b ( 1 + \sqrt{3})+42 + 6\sqrt{3}=0}\)
to mozna nareszcie ułożyć układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi.
Czy ktos nie zna jakiegos szybszego sposobu rozwiazania?

[blondinetka]

a tam a i b nie powinny należeć do C ?? jezeli tak to ja zamieściłam takie samo zadanie pod tytułem równanie wielomianowe z parametrem a i b i bardzo fajne i szybkie rozwiąznie otrzymałam polecam

[Sylwek]

Po raz trzeci...

Liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem tego równania. Zatem:
\(\displaystyle{ 3 (1+ 3 \sqrt{3} + 3 3 + 3 \sqrt{3})+a(1+ 2 \sqrt{3} +3)+b(1+\sqrt{3})+12=0 \\ 30+18 \sqrt{3} + 4a + 2a \sqrt{3} + b + b\sqrt{3} + 12=0 \\ 42+4a+b =-\sqrt{3}(18+2a+b)}\)

Lewa strona jest wymierna. Po prawej stronie mamy iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej. Jest on prawie zawsze niewymierny - jest tylko jeden wyjątek, gdy czynnik, który jest liczbą wymierną jest zerem. Zatem:
\(\displaystyle{ 18+2a+b=0 \\ b=-2a-18 \\ 42+4a-2a-18=0 \\ 2a+24=0 \\ a=-12 \\ b=24-18=6}\)