Wielomian z parametrem

[nicik]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x^{3}-(m+6)x^{2}-(m-1)x+m+3}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1)}\). Dla jakich wartości parametru m wielomian W ma dokladnie dwa pierwiastki.

[kelezor]

podziel \(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x^{3}-(m+6)x^{2}-(m-1)x+m+3}\)
przez \(\displaystyle{ (x+1)}\), np. przy użyciu tabelki Hornera.
wyjdzie \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)*((m-4)x^2-2(m+2)x+(m+3)).}\)
rozpatrz \(\displaystyle{ (m-4)x^2-2(m+2)x+(m+3)=0}\)
teraz możesz wyliczyć deltę. jeśli będzie równa zeru, to równanie będzie miało dwa pierwiastki, z czego jeden podwójnego stopnia.

mozesz jeszcze podzielic \(\displaystyle{ (m-4)x^2-2(m+2)x+(m+3)=0}\) przez \(\displaystyle{ x+1}\). resztę przyrównaj do zera. w takim przypadku też będzie miało 2 pierwiastki, ale to \(\displaystyle{ (x+1)}\) będzie podwójnym pierwiastkiem

[lukasz1804]

Dzieląc wielomian \(\displaystyle{ W}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x+1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)Q(x)}\), gdzie

\(\displaystyle{ Q(x)=(m-4)x^2-2(m+1)x+(m+3)}\).

Na to, by wielomian \(\displaystyle{ W}\) miał dokładnie dwa pierwiastki potrzeba i wystarcza, by wielomian \(\displaystyle{ Q}\) miał albo dokładnie jeden pierwiastek różny od -1, albo dwa różne pierwiastki, z których jeden jest równy -1.
Rozważmy przypadki.
1) Dla \(\displaystyle{ m=4}\) mamy \(\displaystyle{ Q(x)=-10x+7}\), więc \(\displaystyle{ Q(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac{7}{10}\neq -1}\). Zatem \(\displaystyle{ m=4}\) spełnia warunki zadania.
2) Załóżmy, że \(\displaystyle{ m\neq 4}\). Aby wielomian \(\displaystyle{ Q}\) miał pierwiastki, musi być spełniona nierówność \(\displaystyle{ \Delta\geq 0}\), czyli \(\displaystyle{ 4(m+1)^2-4(m-4)(m+3)\geq 0}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ m\geq-\frac{13}{3}}\).
Możliwe są teraz przypadki:
1. \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli \(\displaystyle{ m=-\frac{13}{3}}\). Wówczas równanie \(\displaystyle{ Q(x)=0}\) ma dokładnie jeden pierwiastek postaci \(\displaystyle{ x_0=\frac{m+1}{m-4}=\frac{2}{5}\neq -1}\). Zatem \(\displaystyle{ m=-\frac{13}{3}}\) również spełnia warunki zadania.
2. \(\displaystyle{ \Delta>0}\), czyli \(\displaystyle{ m>-\frac{13}{3}}\). Wtedy w myśl powyższych spostrzeżeń i ze wzorów Viete'a dostajemy, że muszą zachodzić równości

\(\displaystyle{ -1+x_2=\frac{2(m+1)}{m-4},\ (-1)x_2=\frac{m+3}{m-4}}\).

Wyznaczając z tego układu wartość parametru \(\displaystyle{ m}\) dostajemy \(\displaystyle{ m=-\frac{1}{4}}\).

Reasumując otrzymujemy 3 wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) spełniające warunki zadania: \(\displaystyle{ m=4,\ m=-\frac{1}{4},\ m=-\frac{13}{3}}\).

Za ewentualne błędy rachunkowe przepraszam.
Pozdrawiam.

[nicik]

myslalem nad podzieleniem, ale dzielenie takie tradycyjne to odpoadalo, dlatego szukalem innego sposobu, a o schemacie Hornera zapomnialem najzyczajniej:p