Udowodnij, że dla żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych nie mogą zachodzić równości \(\displaystyle{ W(7)=11}\) i \(\displaystyle{ W(11)=13}\).
Mam bardzo duży problem z tym zadaniem, siedzę nad nim już ponad tydzień i nie mogę wpaść na rozwiązanie. Czy mógłby mi ktoś dać jakąś podpowiedź jak się do niego zabrać? Albo przedstawić jego rozwiązanie, żebym mogła sobie zobaczyć jak ono powinno wyglądać.
Wydawało mi się, że dobry tutaj będzie dowód niewprost, ale jak już napisałam wyżej jakoś mimo wszystko nie mogę sobie z nim poradzić.
Bardzo proszę o pomoc,
Słomka.
Udowodnij, wielomian o współczynnikach całkowitych
-
robert9000
- Użytkownik
- Posty: 1420
- Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 411 razy
Udowodnij, wielomian o współczynnikach całkowitych
\(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x^{n}+.....+a_{1}x+a_{0}}\)
\(\displaystyle{ W(7)=a_{n}7^{n}+...+7a_{1}+a_{0}=11 \ \ W(11)=a_{n}11^{n}+...+11a_{1}+a_{0}=13}\)
odejmujemy pierwsza róznaść od drugiej i mamy:
\(\displaystyle{ a_{n}(11^{n}-7^{n})+...+a_{1}(11-7)=2}\)
\(\displaystyle{ 11^{n}-7^{n}=(11^{ \frac{n}{2}} +7^{\frac{n}{2}})(11^{\frac{n}{2}}-7^{\frac{n}{2}}}\) teraz rozpisując 2 nawias itd itd (ze wzorów skróconego mnożenia) dojdziemy do iloczynu (...)(...)(...)(...)(11-7) i można tak postąpic z kazdym podobnym wyrażeniem, wiec naszw róznanie możn podzielić przez (11-7) ponieważ wystapuje przy kazdym współczynniku a:
\(\displaystyle{ a_{n}( \frac{11^_{n}-7^{n}}{11-5} +...+a_{1}= \frac{2}{5}}\)
po lewej mamy sume liczb całkowitych (skoro a jest całkowita i pomnożona przez całkowitą, to jest całkowite itd...) wiec suma po prawej powinna być całkowita a jest równa 0,2 wiec sprzeczność z załozeniem, które było, że taki wielomian istnieje;) zgodnie z rzyczeniem dowód nie w prost
\(\displaystyle{ W(7)=a_{n}7^{n}+...+7a_{1}+a_{0}=11 \ \ W(11)=a_{n}11^{n}+...+11a_{1}+a_{0}=13}\)
odejmujemy pierwsza róznaść od drugiej i mamy:
\(\displaystyle{ a_{n}(11^{n}-7^{n})+...+a_{1}(11-7)=2}\)
\(\displaystyle{ 11^{n}-7^{n}=(11^{ \frac{n}{2}} +7^{\frac{n}{2}})(11^{\frac{n}{2}}-7^{\frac{n}{2}}}\) teraz rozpisując 2 nawias itd itd (ze wzorów skróconego mnożenia) dojdziemy do iloczynu (...)(...)(...)(...)(11-7) i można tak postąpic z kazdym podobnym wyrażeniem, wiec naszw róznanie możn podzielić przez (11-7) ponieważ wystapuje przy kazdym współczynniku a:
\(\displaystyle{ a_{n}( \frac{11^_{n}-7^{n}}{11-5} +...+a_{1}= \frac{2}{5}}\)
po lewej mamy sume liczb całkowitych (skoro a jest całkowita i pomnożona przez całkowitą, to jest całkowite itd...) wiec suma po prawej powinna być całkowita a jest równa 0,2 wiec sprzeczność z załozeniem, które było, że taki wielomian istnieje;) zgodnie z rzyczeniem dowód nie w prost
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij, wielomian o współczynnikach całkowitych
A jak to będzie na przykład dla \(\displaystyle{ n=5}\)? Jak chcesz tym sposobem dojść do czynnika \(\displaystyle{ (11-7)}\)?robert9000 pisze: \(\displaystyle{ 11^{n}-7^{n}=(11^{ \frac{n}{2}} +7^{\frac{n}{2}})(11^{\frac{n}{2}}-7^{\frac{n}{2}})}\)
Pomijając jednak tę lukę, idea Roberta jest dobra, tylko można ją ładniej zapisać, mianowicie w postaci faktu, że jeśli \(\displaystyle{ W(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych całkowitych liczb \(\displaystyle{ a,b}\) mamy:
\(\displaystyle{ (a-b) | (W(a)-W(b))}\)
Natychmiast stąd wynika teza, a w dowodzie tego faktu wystarczy skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+ \dots + b^{k-1})}\)
Pozdrawiam.
Qń.