Znajdź wszystkie wielomiany W(x) spełniające następujące dwa warunki:
\(\displaystyle{ W(1)=9, W( x_{1} + x _{2} ) = W(x _{1} ) +W(x _{2} ) + 2 x _{1} x _{2} - 5.}\)
Znajdz wszystke wielomiany
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Znajdz wszystke wielomiany
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ W(p+q)=a(p+q)^n + b(p+q)^{n-1}+ \ldots + k(p+q)^2 + m(p+q)+ n=a(p^n+q^n)+a({ n \choose 1} p^{n-1}q + \ldots + {n \choose n-1}pq^{n-1})+ \ldots + k(p^2+q^2)+k 2pq + m(p+q)+n=W(p)+W(q)+a({ n \choose 1} p^{n-1}q + \ldots + {n \choose n-1}pq^{n-1})+ \ldots + k 2pq - n}\)
Ale w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ W( x_{1} + x _{2} ) = W(x _{1} ) +W(x _{2} ) + 2 x _{1} x _{2} - 5}\)
Teraz już łatwo wywnioskować, że współczynniki przy wyższych potęgach niż ta, przy których stał współczynnik oznaczony wyżej jako \(\displaystyle{ k}\) będą zerami. Z faktu, że te potęga, przy której stał współczynnik \(\displaystyle{ k}\) była 2, zatem szukany wielomian ma postać: \(\displaystyle{ W(x)=ax^2+bx+c}\)
Sposób 1)
Teraz już łatwo:
\(\displaystyle{ W(0+1)=W(0)+W(1)+ 2 0 1 - 5 \\ W(1)=W(0)+W(1)-5 \\ W(0)=5 \\ W(-1+1)=W(-1)+W(1)-2-5 \\ W(0)=W(-1)+W(1)-7 \\ 5=W(-1)+9-7 \\ 5=W(-1)+2 \\ W(-1)=3}\)
No i banalny układzik:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a 1^2 + b 1 + c = 9 \\ a 0^2+ b 0 + c=5 \\ a (-1)^2 + b (-1) + c = 3 \end{cases} \\ \begin{cases} a+b=4 \\ c=5 \\ a-b=-2 \end{cases} \\ W(x)=x^2+3x+5}\)
Jest to jedyny wielomian spełniający warunki zadania
Sposób 2)
Jak widzimy z rozumowań u góry postu: \(\displaystyle{ k=1, \ n=5}\)
Toteż:
\(\displaystyle{ W(x)=x^2+bx+5 \\ W(1)=1+b+5 \\ 9=b+6 \\ b=3 \\ W(x)=x^2+3x+5}\)
\(\displaystyle{ W(p+q)=a(p+q)^n + b(p+q)^{n-1}+ \ldots + k(p+q)^2 + m(p+q)+ n=a(p^n+q^n)+a({ n \choose 1} p^{n-1}q + \ldots + {n \choose n-1}pq^{n-1})+ \ldots + k(p^2+q^2)+k 2pq + m(p+q)+n=W(p)+W(q)+a({ n \choose 1} p^{n-1}q + \ldots + {n \choose n-1}pq^{n-1})+ \ldots + k 2pq - n}\)
Ale w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ W( x_{1} + x _{2} ) = W(x _{1} ) +W(x _{2} ) + 2 x _{1} x _{2} - 5}\)
Teraz już łatwo wywnioskować, że współczynniki przy wyższych potęgach niż ta, przy których stał współczynnik oznaczony wyżej jako \(\displaystyle{ k}\) będą zerami. Z faktu, że te potęga, przy której stał współczynnik \(\displaystyle{ k}\) była 2, zatem szukany wielomian ma postać: \(\displaystyle{ W(x)=ax^2+bx+c}\)
Sposób 1)
Teraz już łatwo:
\(\displaystyle{ W(0+1)=W(0)+W(1)+ 2 0 1 - 5 \\ W(1)=W(0)+W(1)-5 \\ W(0)=5 \\ W(-1+1)=W(-1)+W(1)-2-5 \\ W(0)=W(-1)+W(1)-7 \\ 5=W(-1)+9-7 \\ 5=W(-1)+2 \\ W(-1)=3}\)
No i banalny układzik:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a 1^2 + b 1 + c = 9 \\ a 0^2+ b 0 + c=5 \\ a (-1)^2 + b (-1) + c = 3 \end{cases} \\ \begin{cases} a+b=4 \\ c=5 \\ a-b=-2 \end{cases} \\ W(x)=x^2+3x+5}\)
Jest to jedyny wielomian spełniający warunki zadania
Sposób 2)
Jak widzimy z rozumowań u góry postu: \(\displaystyle{ k=1, \ n=5}\)
Toteż:
\(\displaystyle{ W(x)=x^2+bx+5 \\ W(1)=1+b+5 \\ 9=b+6 \\ b=3 \\ W(x)=x^2+3x+5}\)
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znajdz wszystke wielomiany
Jak już się odgadnie postać rozwiązania (co jest proste), to pokazać, że jest jedyne można sprytniej. Niech: \(\displaystyle{ H(x)= W(x) - x^2-3x-5}\). Wtedy jak łatwo sprawdzić ten wielomian spełnia zależności:
\(\displaystyle{ H(1)=0 \\
H(x_1+x_2)=H(x_1)+H(x_2)}\)
co oznacza, że ma nieskończenie wiele pierwiastków (każda liczba naturalna), a to z kolei znaczy, że musi być tożsamościowo równy \(\displaystyle{ 0}\), co dowodzi jednoznaczności odgadniętego rozwiązania.
Pozdrawiam.
Qń.
\(\displaystyle{ H(1)=0 \\
H(x_1+x_2)=H(x_1)+H(x_2)}\)
co oznacza, że ma nieskończenie wiele pierwiastków (każda liczba naturalna), a to z kolei znaczy, że musi być tożsamościowo równy \(\displaystyle{ 0}\), co dowodzi jednoznaczności odgadniętego rozwiązania.
Pozdrawiam.
Qń.