uzasadnic ze wielomian nie ma pierwiastkow dodatnich

[nicik]

oto zadanie:
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{3}+x+1}\) . Uzasadnij ze ten wielomian nie ma pierwiastkow dodatnich.

oraz

Uzasadnij ze wielomian nie ma pierwiastkow wymiernycgh

to kolejne zadanie z ktorym nie moge sobie poradzic licze na pomoc
dzieki, pozdrawiam

[Wasilewski]

Łatwo zauważyć, że wartość wielomianu stale rośnie, bo jego pochodna jest większa od zera.
Wystarczy sprawdzić, że wartość wielomianu dla zera jest większa od zera, więc dla większych x tym bardziej nie przyjmie wartości zero. Drugi podpunkt z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

[nicik]

mozna to jakos zrobic bez wykozystywania pochodnych?? i jak to matematycznie zapisac??

[Wasilewski]

Można na przykład tak:
\(\displaystyle{ W(x) = x(2x^2 + 1) + 1}\)
Z takiej postaci widać, że wielomian ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty i można oszacować, że jest on mniejszy od zera.