Wielomian o współczynnikach całkowitych daje przy dzieleniu przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2}-12x+
11}\) resztę \(\displaystyle{ 990x -889}\). Pokazac, ze nie ma on pierwiastków całkowitych.
Nie wiem z którego twierdzenia skorzystać aby to dowieść mógłby ktoś podpowiedzieć?
Udowodnić że wielomian nie ma pierwiastków całkowitych
-
- Użytkownik
- Posty: 1420
- Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 411 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnić że wielomian nie ma pierwiastków całkowitych
EDIT: Naniosłem poprawkę sugerowaną przez Sylwka
Oznaczmy nasz wielomian przez \(\displaystyle{ W(x)}\). Dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) o współczynnikach całkowitych jest:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-12x-11)Q(x) + 990x-889}\)
czyli
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)[(x-11)Q(x) +990] +101}\)
Załóżmy, że dla pewnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ W(a)=0}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ 0=(a-1)[(a-11)Q(a) +990] +101}\)
czyli
\(\displaystyle{ -101=(a-1)[(a-11)Q(a) +990]}\)
Skoro jednak mamy tu same liczby całkowite, to \(\displaystyle{ a-1}\) musi dzielić lewą stronę, skąd \(\displaystyle{ a-1 \{ -101, -1, 1, 101 \}}\), czyli \(\displaystyle{ a \{ -100, 0, 2, 102 \}}\). Pokażemy, że każdy przypadek prowadzi do sprzeczności:
\(\displaystyle{ a= -100}\), wtedy:
\(\displaystyle{ -101 = 101 111 Q(-100) + 990}\)
co jest niemożliwe, bo lewa strona dzieli się przez 101, a prawa nie.
\(\displaystyle{ a=0}\), wtedy:
\(\displaystyle{ -101=11Q(0) -990}\)
co jest niemożliwe, bo prawa strona dzieli się przez 11, a lewa nie;
\(\displaystyle{ a=2}\), wtedy:
\(\displaystyle{ -101 = -9Q(2) +990}\)
co jest niemożliwe, bo prawa strona dzieli się przez 9, a lewa nie.
\(\displaystyle{ a= 102}\), wtedy:
\(\displaystyle{ -101 = 101 90 Q(102) + 990}\)
co jest niemożliwe, bo lewa strona dzieli się przez 101, a prawa nie.
Otrzymana sprzeczność pokazuje, że założenie o istnieniu całkowitego pierwiastka wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) było fałszywe.
Pozdrawiam.
Qń.
Oznaczmy nasz wielomian przez \(\displaystyle{ W(x)}\). Dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) o współczynnikach całkowitych jest:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-12x-11)Q(x) + 990x-889}\)
czyli
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)[(x-11)Q(x) +990] +101}\)
Załóżmy, że dla pewnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ W(a)=0}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ 0=(a-1)[(a-11)Q(a) +990] +101}\)
czyli
\(\displaystyle{ -101=(a-1)[(a-11)Q(a) +990]}\)
Skoro jednak mamy tu same liczby całkowite, to \(\displaystyle{ a-1}\) musi dzielić lewą stronę, skąd \(\displaystyle{ a-1 \{ -101, -1, 1, 101 \}}\), czyli \(\displaystyle{ a \{ -100, 0, 2, 102 \}}\). Pokażemy, że każdy przypadek prowadzi do sprzeczności:
\(\displaystyle{ a= -100}\), wtedy:
\(\displaystyle{ -101 = 101 111 Q(-100) + 990}\)
co jest niemożliwe, bo lewa strona dzieli się przez 101, a prawa nie.
\(\displaystyle{ a=0}\), wtedy:
\(\displaystyle{ -101=11Q(0) -990}\)
co jest niemożliwe, bo prawa strona dzieli się przez 11, a lewa nie;
\(\displaystyle{ a=2}\), wtedy:
\(\displaystyle{ -101 = -9Q(2) +990}\)
co jest niemożliwe, bo prawa strona dzieli się przez 9, a lewa nie.
\(\displaystyle{ a= 102}\), wtedy:
\(\displaystyle{ -101 = 101 90 Q(102) + 990}\)
co jest niemożliwe, bo lewa strona dzieli się przez 101, a prawa nie.
Otrzymana sprzeczność pokazuje, że założenie o istnieniu całkowitego pierwiastka wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) było fałszywe.
Pozdrawiam.
Qń.
Ostatnio zmieniony 25 sty 2008, o 22:11 przez Qń, łącznie zmieniany 3 razy.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Udowodnić że wielomian nie ma pierwiastków całkowitych
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)[(x-11)Q(x) +990] +101}\) raczejQń pisze:\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)[(x-11)Q(x) +990] +1}\)
Poza tym OK, tylko wiadomo teraz, że rozważamy dodatkowo przypadki \(\displaystyle{ a-1=101}\) i \(\displaystyle{ a-1=-101}\) tylko tyle, bo 101 jest liczbą pierwszą), ale wychodzi to samo
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnić że wielomian nie ma pierwiastków całkowitych
A, słusznie, siódma rano to nie jest optymalna pora na prawidłowe odejmowanie liczb naturalnych większych niż jednocyfrowe . Poprawiłem.
Pozdrawiam.
Qń.
Pozdrawiam.
Qń.